SGK Giải Tích 12 - Bài 2. Cực trị của hàm số

1
cưc TRI CỦA HÀM SỐ
I - KHÁI NIỆM cực ĐẠI, cực TlỂư
Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm sô' sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):
a) y = -x2+l trong khoảng (-00;+00) ;
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) (có thể a là -00 ; b là +00) và điểm xữ e (a ; bỵ
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho/(x) </(x0) với mọi X e (x0 - h ; Xq + h) và X * xữ thì ta nói hàm số/(x) đạt cực đại tại x0.
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho/(x) > /(x0) với mọi X e (x0- h ; X0 + A) và X Xq thì ta nói hàm số/(x) đạt cực tiểu tại Xg.
CHU Y
Nếu hàm số /(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số ; /(x0)được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là/cĐƠcr)’ c°n điểm M(x0 ; /(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (ữ ; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại xothì /Vo) = O. v
Giả sửy(.r) đạt cực đại tạix0. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng
cách xét giới hạn tỉ sô -—2	Q_ khi Ar -> 0 trong hai trường hợp Ax > 0 và
Ax
Ax<0.
II - ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM số CÓ cực TRỊ
A u,.
# N a) Sử dụng đồ thị, hãy xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không.
• y = -2x + l ;
•y = j(x-3)2 (H.8).
b) Nêu mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.
Ta thừa nhận định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ 1
Giả sử hàm sốy =7(x) hên tục trên khoảng ẤT=(x0 - h ; Xq + và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{ x0}, với h > 0.
Nếu f ’(x) > 0 trên khoảng (x0 - h ; x0) và / ’(x) < 0 trên khoảng (x0 ; x0 + /ỉ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số/(x).
Nếu f '(x) 0 trên ^khoảng (x0 ; x0 + A) thì x0 là một diểm cực tiểu cùa hàm số/(x). y
Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số/(x) = -X2 + 1. Giải. Hàm số xác định với mọi X e R.
Ta có f '(x) = -2x ; f '(x) = 0 X = 0.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra X = 0 là điểm cực đại của hàm số và đồ thị của hàm số có một điểm cực đại (0 ; 1) (H.7)..
Ví dụ 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = X3 - X2 - X + 3. Giải. Hàm số xác định với mọi X e R.
Ta có ý = 3x2 - 2x - 1 ;
X = 1
r - -1 x~ 3'
Từ bảng biến thiên suy ra X = - jlà điểm cực đại, X = 1 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số
Giải. Hàm số xác định tại mọi x*-ỉ.
Ta có y' =	——— > 0, Vx -1.
(x + l)2
Vậy hàm số đã cho không có cực trị (vì theo khẳng định 3 của Chú ý trên, nếu hàm số có cực trị tại x0 thì tại đó y' = 0).
4
Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?
III - QUY TẮC TÌM cực TRỊ
Áp dụng Định lí 1, ta có quy tắc tìm cực trị sau đày.
QUY TẮC I
Tìm tập xác định.
Tính /'(%). Tìm các điểm tại đó f\x) bằng 0 hoặc /'(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
5
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số
/(x) = x(x2-3).
Ta thừa nhận định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ 2
Giả sử hàm số y = /(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x'o - h ; x0 + lì), với h > 0. Khi đó :
Nếu/'(x0) = 0, /"(xq) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu ;
Nếu f'(xọ) = 0, y"(xq) < 0 thì Xọ là điểm cực đại.
Áp dụng Định lí 2, ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàm số.
QUY TẮC II
Tìm tập xác định.
Tính/'(x). Giải phương trình/'(x) = 0 và kí hiệu Xị (/ = 1,2,..., n) là các nghiệm của nó.
Tính/"(x) và/"(xz-).
Dựa vào dấu của /"(xz) suy ra tính chất cực trị của điểmx,-. Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số
X4	9
/(x) =? 5“ - 2x2 + 6.
4
Giải. Hàm số xác định với mọi X e R.
/ '(x) = X3 - 4x = x(x2 - 4) ; / '(x) = 0 =í> Xj = 0, x2 = -2, x3 = 2.
/"(x) = 3x'2 - 4.
f "(± 2) = 8 > 0 => X = -2 và X = 2 là hai điểm cực tiểu ;
/"(0) = -4 X = 0 là điểm cực đại.
Kết luận
/(x) đạt cực tiểu tại X = -2 và X = 2 ; fCT = /(± 2) = 2.
/(x) đạt cực đại tại X = 0 và/C£) =/(0) = 6.
Ví dụ 5. Tìm các điểm cực trị của hàm số fix') = sin2x.
Giải. Hàm số xác định với mọi X e K.
/'(x) = 2cos2x ;/'(x) = 0 2x =	+ lĩi o x = -- + 1-^ ụ e z).
2	4	2
/"(x) = -4sin2x.
- -4 sin
-4 nếu l = 2k 4 nếu ỉ - 2k+l
(keZ).
Kết luận
7E
X = — + kn (k e Z) là cấc điểm cực đại của hàm số. 4
x= — + k.11 (k e Z) là các điểm cực tiểu của hàm số. 4
Bài tập
Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau :
a) y - 2x3 + 3x2 - 36x - 10 ;	b) y = X4 + 2x2 - 3 ;
y = X + - ;	.d) y = x3(l - x)2 ;
X
e) y = Vx2 - X + 1. .
Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau :
a) y = X4 - 2x2 + 1 ;	b) y = sin2x - X ;
c) y = sinx + cosx ;
d) y = X5 - X3 - 2x + 1.
3.
4.
5.
Chứng minh rằng hàm số y = Vixi không có đạo hàm tại X = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số 3	2
y = X - mx - 2x + 1
luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Tìm a và b để các cực trị của hàm số
y = Ệứ2x3 + 2<3X2 - 9x + b 3
đều là những số dương và x0 = là điểm cực đại.
2
.	9	,	X	9	z	X + mx + 1
Xác định giá trị của tham số m đe hàm số y - 	——- đạt cực đại
X + m
18