SGK Giải Tích 12 - Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực - Bài đọc thêm: Phương trình đại số

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI
1. Căn bậc hai của số thực âm
V vThế nào là căn bậc hai của số thực dương a ?
Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức Z2 = -1, ta nói i là một căn bậc hai của -T; -i cũng là một căn bậc hai của -1, vì(-z')2 = -1. Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn :
Căn bậc hai của -2 là ±iy/2 , vì (± /V2)2 = -2 ;
Căn bậc hai của -3 là ±	,	vì (± iV3)2 = -3 ;
Căn bậc hai của -4 là ± 2z', vì (± 2z')2 = -4.
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ± z‘ự]ữĩ.
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 với a, b, c eR, a Khi A < 0 phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của A.
 0. Xét biệt số Á = b~ - 4ưc của phương trình. Ta thấy :
• Khi A = 0, phương trình có một nghiệm thực X =-7—;
2ữ
• Khi A > 0, có hai căn bậc hai (thực) của A là ±\/Ă và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức
Tuy nhiên, trong trường hợp A < 0, nếu xét trong tập hợp số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của A là ± ỉựịÃĨ. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức
-b ± i JĨÃĨ
Ví dụ. Giải phương trình X2 + X + 1 = 0 trên tập hợp số phức.
Ta có A = 1 - 4 = -3. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là
NHẬN XÉT
Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n (« > 1)
ữQXn + ữỵxn 1 + ... + ữn_ỵX + ũn — 0 ,
trong đó a0, a\, an<E c, a0 * 0 đều có n nghiệm phức (các nghiêm không nhất thiết phân biệt).
Đó là định lí cơ bản của Đại số học.
Bài tập
Tìm các căn bậc hai phức	của các số sau : -7 ; -8 ;	-12	;	-20	;	-121.
Giải các phương trình sau	trên tập hợp số phức :
-3z2 + 2z - 1 = 0 ;	b) 7z2 + 3z + 2 = 0 ;	c)	5z2	-	7z	+ 11 = 0
Giải các phương trình sau	trên tập hợp số phức :
a)z4+z2-6 = 0;	b) z4 + 7z2 + 10 = 0.
Cho ứ, b, c G R, a/0, Zị, z2 là hai nghiêm của phương trình <3Z2 + bz + c - 0. Hãy tính Zj + z2 và Zị.z2 theo các hệ số a, b, c.
Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và Z làm nghiệm.
BÀI ĐOC THÊM
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI số
Phương trình đại sô' là phương trình dạng
aQxn + ứịx”_1 +... + an_ịX + an =0,
trong đó n là một số nguyên dương ; aữ, ữp an là các số đã cho và được gọi là các hệ sô' của phương trình, X là ẩn số. Nếu aQ *0 thì n là bậc của phương trình.
Việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đại sô' và tìm công thức tính nghiệm của nó đã thu hut cong sức của nhiều nhà toẩn học, trong nhiều thê' kỉ. Chính từ những nghiên cứu đó đã ra đời ngành Đại sô' và thúc đây sự phát triển của nhiều lĩnh vực toán học khác.
Từ 2000 năm trước Công nguyên, người Ai Cập và người Babilon cổ đã biết giải các phương trình bậc nhất và mọt sô' trường hợp riêng của các phương trình bậc hai và bậc ba.
Lí thuyết giải phương trình bậc hai được trình bày lần đầu tiên trong cuốn sách "Số học" của Đi-0-phăng (Diophantus), nhẩ bác học cổ Hi Lạp thê' kỉ III. cần chú ý rằng vẩn đề có nghiệm của phương trình đại sô' luôn gắn với sự mở rộng các tập hợp sô Chẳng hạn, phương trình X + 3 = 0 không có nghiệm trong tập hợp sô' tự nhiên N, nhưng có nghiệm trong tập hợp các sô' nguyên z. Phương trình 3x + 2 = 0 không có nghiệm trong tập hợp các sô' nguyên z, nhưng có nghiệm trong tập hợp các sô' hữu tỉ Q.
Tổng quát, trên tập hợp các sô' hữu tỉ Q, mọi phương trình bậc nhất đều có
nghiệm. Nhờ việc mở rộng từ tập hợp các sô' hữu tỉ Q sang tập hợp các sô' thực R,
một lớp các phương trình bậc hai dạng ax2 +bx + c = o với biệt sô' A = ờ2 -4ac>0 có nghiệm.
Công thức xác định nghiệm của phương trình bậc hai
-ồ± VÃ
x = ——-—
2a
đã được biết từ thê' kỉ thứ VI và điểu đó thúc đẩy các nhà toán học đi tìm công thức tính nghiệm của các phương trình bậc ba, bậc bốn,... Tuy nhiên, phải mười thê' kỉ sau (thế kỉ XVI), công thức tính, nghiệm của phương trình bậc ba và thuật toán giải phương trình bậc bốn mới được các nhà toán học l-ta-li-a tìm ra.
Nghiệm của phương trình bậc ba
được cho bởi công thức sau (thường gọi là công thức Các-đa-nô) :
A'=v4+vT+ể+rl
2	„3
7- + -^-' 4	27
Các-đa-nô đã công bố công thức này năm 1545, trong quyển sách "Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số".
2	3
Lẽ tự nhiên, ta coi biểu thức trên có nghĩa khi đại lượng A = — + ^~ là không âm.
Đại lượng A cũng được gọi là biệt số của phương trình (*). Tuy nhiên, dễ chỉ ra những phương trình bậc ba với biệt số A < 0, mà vẫn có nghiệm thực. Chẳng hạn, xét phương trình
a3-7a + 6 = 0.
Phương trình này có ba nghiệm là -3, 1,2 nhưng biệt sô'
a = ÉỈ+.(-7)3
■<0.
100
4	27	27
Điều đó dẫn đến việc thừa nhận rằng biểu thức là có nghĩa và các giá trị của nó là -3, 1, 2, mặc dù biểu thức này chứa căn bậc hai của một sô' thực âm.
100
100
= ? -3 + .— + 3-3-J-^
27
27
Như chúng ta đã thấy, sự thừa nhận có các căn bậc hai của sô' thực âm, bắt đầu từ việc đặt i = đã dẫn đến sự ra đời của tập hợp các sô' phức.
Đồng thời với việc-sáng tạo ra các sô' phức, người ta chứng minh được rằng mọi phương trình đại sô' bậc n (n > 1) với hệ sô' phức đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).
Như vậy, việc mở rộng các tập hợp sô' gắn với vấn đề có nghiệm của các phương trình đại sô' đã dừng lại ở tập hợp các sô' phức.
Tuy nhiên, các nhà toán học vẫn theo đuổi bài toán tìm công thức nghiệm dưới dạng biểu thức chứa căn thức cho các phương trình bậc lớn hơn hoặc bằng 5.
Gần 300 năm sau khi tìm ra công thức Các-đa-nô, năm 1826, A-ben (Abel), nhà toán học Na Uy đã chứng minh được rằng không có một công thức nghiệm như vậy cho các phương trình bậc lớn hơn hoặc bằng năm với hệ sô' bằng chữ. Hơn nữa, nhà toán học Pháp Ga-loa (Galois), năm 1830 còn giải được trọn vẹn bài toán : "Trong những điều kiện nào, một phương trình đại sô' giải được bằng căn thức ?". Công trình thiên tài của Ga-loa đặt nền móng cho sự phát triển của Đại sô' hiện đại.