SGK Giải Tích 12 - Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ	
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
t
- BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bất phương trình mũ Cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ơx > b (hoặc ax > b, ax 0, a 1.
Ta xét bất phương trình dạngứ ' > b.
Nếu b 0 > b, Vx e R.
Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax > ưloga b.
Với.ữ > 1, nghiệm của bất phương trình ĩà X > logứ b .
Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là X < logứ b .
Ví dụ 1
3Â > 81 X > log3 81 X > 4;
> 32 X X < —5.
Minh hoạ bằng đồ thị
Vẽ đồ thị hàm số y = ax và đường thẳng y = b trên cùng một hệ trục toạ độ.
Trong trường hợp ữ > 1 ta nhận thấy :
Nếu b b với mọi .V.
Nếu b > 0 thì aA > b với X > log,, b (H. 41).
\
Trường hợp 0 < a < 1, ta có :
Nếu b b với mọi X.
Nếu b > 0 thì ax > b với x<\ũgab (H.42).
Hình 42
Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình ax > b được cho trong bảng sau :
ax > b
Tập nghiệm
a> 1
0 < ữ < 1
b<Q
R
R
b>0
(logữ b ; + 00)
(-00 ; logữ ồ)
Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình ax >b, ax < b, ax < b.
Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên X2 - X < 2.
Đây là bất phương trình bậc hai quen thuộc. Giải bất phương trình này, ta được-l<x<2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng (-1 ; 2).
Ví dụ 3. Giải bất phương trình 4A - 2.52x < 10x.
Giải. Chia hai vế của bất phương trình cho 10x, ta được
Đặt t - (f > 0), ta có bất phương trình
í2 - í-2
í - — < 1 hay 	—— < 0.
t	t
Giải bất phương trình này với điều kiện t > 0, ta được 0 < t < 2. Do đó
„ 2 , , ,
Vì cơ sô — nhỏ hơn 1 nên X > log 2 2.
5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là(log2 2 ; +oo).
5
'Giải bất phương trình 2X +2 x-3<0.
II - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Bất phương trình lôgarit cơ bản
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng logứ X > b (hoặc loga X > b, logữ X 0, a * 1.
Xét bất phương trình logữ X > b.
Trường hợp a > 1, ta có
logữ X > b X > a .
Trường hợp 0 < a < 1, ta có
logứ x>b<^ữ<x<ab.
Ví dụ 4
log2 X > 7 X > 27 X > 128 .
8'
log ịI>3 0 < X <
ị	w
Minh hoạ bằng đồ thị
Vẽ đồ thị hàm số y = logữ X và đường thẳng y = b trên cùng một hệ trục toạ độ
7
Trường hợp a > 1: logứ X > b khi và chỉ khi X > a .
Trường hợp 0 b khi và chỉ khi 0 < X < a .
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình logữ X > b được cho trong bảng sau
logứ X. > b
a > 1
0 < ữ < 1
Nghiệm
X > ab
0 < X < ab
Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình logữ x>b, logứ x<b, loga X < b.
Bất phương trình lôgarit đơn giản
Ta xét một số ví dụ về bất phương trình lôgarit đơn giản.
Ví dụ 5. Giải bất phương trình logo 5<5x + 10) < logo sC*2 +	+ 8) •
Giải. Điều kiện của bất phương trình đã cho là
5x + 10 > 0
X + 6x + 8 > 0
 X > -2.
X > -2
X -2
Vì cơ số 0,5 bé hơn 1 nên với điều kiện đó, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình 5x + 10 > X2 + 6x + 8
 X2 + X - 2 -2 < X <1.
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng (-2 ; 1).
Ví dụ 6. Giải bất phương trình log2(x - 3) + log2(x - 2) < 1.
Giải. Điều kiện của bất phương trình là X > 3. Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với
log2[(x - 3)(x - 2)] < log2 2.
Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên (x - 3)(x - 2) < 2.
Giải bất phương trình này, ta tìm được 1 3, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 3 < X < 4.
Giải bất phương trình logj (2x + 3) > logj (3x + l).
Bài tạp
< 7 \^x 3x 9
d)4v -3.2a + 2 > 0.
Giải các bất phương trình mũ : a) 2_*2+3x < 4;
3X+2 +3X_1 < 28;
b) 25x - 6.5X +5 = 0; d) log7(x - l)log7 X = log7 X ;
g) log—-- = log %.
X -1
b) (0,4)x - (2,5)x+1 >1,5 ; d) log§2*-51og0>2x< -6.
b) log! (3% - 5) > log Ị (%+ 1) ; 5	5
b) X
c) log3
log! (x -1) 2
Giải các bất phương trình lôgarit
logg(4 - 2%) > 2 ;
log0;2 X - log5(x - 2) < log0;2 3 ; d) log2 X - 51og3 X + 6 < 0.