SGK Giải Tích 12 - Bài 4. Đường tiệm cận

  • Bài 4. Đường tiệm cận trang 1
  • Bài 4. Đường tiệm cận trang 2
  • Bài 4. Đường tiệm cận trang 3
  • Bài 4. Đường tiệm cận trang 4
ĐƯỜNG TIỆM CẬN
	•	•	
I - ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
1
Cho hàm số
y =	(H.16).
x-1
có đồ thị (C).
Nêu nhận xét về khoảng cách từ điểm M(x ; y) e (C) tới đường thẳng
Hình 16
Ví dụ 1. Quan sát đồ thị (C) của hàm sô'
/(x)=ị + 2 (H.17).
X
Nêu nhận xét về khoảng cách từ điểm M(x ; y) e (C) tới đường thẳng y = 2 khi Ixl -> +00 và các giới hạn
lim [/W-2], lim [/(%)-2],
X—>+00	X—>“00
Giải. Kí hiệu M, M' lần lượt là các điểm thuộc (C) và đường thẳng y = 2 có cùng hoành độ X (H.17). Khi I xl càng lớn thì các điểm M, M' trên các đồ thị càng gần nhau.
Ta có
lim [/(%) - 2] =
X—>+co
lim
X—>+00
lim — = 0.
X—>+00 X
Tương tự, lim [/(%) - 2] = 0.
X-+-00
Hình 17
CHÚ Ý
lim /(x) = l.
X->±00
Nếu lim 7(x) = lim f(x) = l, ta viết chung là
X—>+00	X—>-00
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = /(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (ứ ;+oo), (-00 ; ồ) hoặc (-00 ;+oo)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = /(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn
lim /(x)=y0, lim /(x)=y0.
X—>+C0	X->-00
Trong Ví dụ 1, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đường hypebol
y = - + 2.
X
Ví dụ 2. Cho hàm số
/(X)=4=+1
yj X
xác định trên khoảng (0 ; +oo).
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 vì
4x
= 1.
lim /(x) = lim
X—>+00	X—>+co
II - ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐÚNG
Tính lim ( —+ 2 I và nêu nhận xét về khoảng cách MH khi X ->0(H/17).
X—>0\X	J
ĐỊNH NGHĨA
Đường thẳng X = Xq được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hăm số y = fix) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn
lim /(x) = +00 , lim /(x) = -co ,
X->Xg	X—>Xq
lim /(x) = -00, lim /(x) = +00 .
X —> Xq	X —> Xq
Ví dụ 3. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số X -1
y = T77 •
X + 2
X 	 1	X 	 1	9
Giải. Vì lim ——5- = -00 (hoặc lim ——? = +00) nên đường thăng
X—>-2+ + + 2	X—>-2_ X + 2
X = -2 là tiệm cận đứng của (C).
Ví dụ 4. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
2x + X + 1
2x - 3
Giải. Vì lim ——+ * + 1 = +C0 (hoặc lim —————— = -00) nên
2x - 3
Í-T
2x-3
■’4-T
12J
3
đường thăng X - là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Bài tập
1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số : X
a)y =
c)y =
2-x 2x - 5
b)y =
-X + 7
x + 1
5x - 2	X
2. Tìm các tiệm cận đứng và ngãng của đồ thị hàm số
a)y =
c)y =
9-x
X2 - 3x + 2
X + 1
b)y =
d)y =
xz + X + 1
3 - 2x - 5x
Vx + 1 Vx - 1