SGK Giải Tích 12 - Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn

  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 1
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 2
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 3
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 4
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 5
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 6
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 7
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 8
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 9
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 10
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 11
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 12
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn trang 13
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn bởi các đường thẳng y = -2x - 1, y = 0, X = 1 và X = 5.
Giả sử hàm số y = /(x) liên tục, nhận giá trị B'	không âm trên đoạn [a ; ồ]. Ta đã biết hình
A'	ị	thang cong giới hạn bởi đồ thị của/(%), trục
ị "	Ị	hoành và hai đường thẳng X = a, X - b có
s = SaABb - SaA’B’b - J(_/(*))đx	(2)
So sánh với diện tích hình thang vuông trong của §2.
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
diện tích s được tính theo.công thức
b
X	s = J/(x)dx.	(1)
a
Trường hợp/CÀ) 0 và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong aA'B'b là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành (H.51). Do đó b
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = X3, trục hoành và hai đường thẳng X = -1, X = 2 (H.53).
Giải. Ta có X3 < 0 trên đoạn [-1 ; 0] và
:o:
2	0	2
= Jk3ld-V = ị(-?)dx+p3dx
-1	-1	0
+ ±L2 -12
4 -1 + 4 0	- 4 ■
Hình 53
X3 > 0 trên đoạn [0 ; 2], Áp dụng công thức (3), ta có
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y=f\W
Cho hai hàm số y =/i(x) và y -f^x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng X -a, x = b (H.54).
Xét trường hợp /j(x) > /2(x)	v<^ mọi
X e [a ; b}. Gọi Sị, s2 là diện tích của hai
Hình 54
hình thang cong giỗi hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng X = a, X - b và các đường cong y =/i(x), y = /2(x) tương ứng. Khi đó, diện tích 5 của hình D là
b
5 = S1 - s2 = Jc/Ì(x) -/2(x))dx. a
Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được công thức
(4)
CHÚ Ý
Khi áp dụng công thức (4), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy, ta giải phương trình
J\(x) - /ỉM = 0 trên đoạn [a ; b]. Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < đ). Khi đó,/j(x) - /2(x) không đổi dấu trên
các đoạri [a ; c], [c ; đ], [d ; b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [a ; c], ta có
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng X = 0, X = 7Ĩ và đồ thị của hai hàm số y = cosx, ỵ = sin % (H.55).
Giải. Đặt/j(x) = cosx, /2(x) = sinx.
Ta có /i(x)-/2W =°
 X = e [0 ; 7t]. 4
cos X - sin X = 0
Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là	Hình 55
71
71	' 4	ft
s= Jlcosx - sinxldx = Jlcosx - sinxldx + Jlcosx - sinxldx =
0	0	ft
4
J(cosx - sinx)dx
J(cosx - sinx)dx
(sin X + COS x)
(sinx + cosx)
= 2V2.
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = X - X và
2
y=x-x.
Giải. Ta có
^(x) - /2(x) = (%3 -*)-(*- -X2) = X3 + X2 - 2x.
Phương trình /ị(x) - /2W = 0 có ba nghiệm Xj = -2, x2 = 0, x3 = 1. Vậy diện tích hình phẳng đã cho là
s = Jx3 + X2 - 2jv|<±x =
0
J (x3 + X2 - 2x) dx
+
1
J(x3 + X2 - 2x)dx
-2
-2
0
<4
X
X3
-X2
0
_ị_
p
X3
_L 	 _
1
_ 8	5
37
1
1
r 	
•X
It
3
y
-2
< 4
3
y
0
3	12
12
- TÍNH THỂ TÍCH
2
Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.
1. Thể tích của vật thể
Cắt một vật thểT) bởi hai mặt phẳng (P) và (2) vuông góc với trục Ox lần lượt tại X = a, X = b (ứ < ồ). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm X (a < X < b) cắtT) theo thiết diện có diện tích là S(x) (H.56). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Hình 56
Người ta chứng minh được rằng thể tích V của phần vật thể Ĩ5 giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (2) được tính bởi công thức :
..2	D
ổ * "
Ví dụ 4. Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng /z.
Giải. Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại X = 0 và X = A (H.57).
Hiển nhiên, một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi S(x) = B (0 < X < /ỉ). Áp dụng công thức (5), ta có
/	/ỉ	h	h
V =	Js(x)dx	=	JbcIx	=	Bx|0	= Bh.
0	0
S(x) = B
Hình 57
2. Thê tích khối chóp và khối chóp cụt
Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B.
Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm 1 sao cho gốc o trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ 01. Khi đó OI = h. Một mặt phẳng («) vuông góc với Ox tại X (0 < X < tì) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(x) (H.58). Ta có
,-2
5(x) = B O •
/	S(x)
L7
/ i
h
t /
Khi đó, thể tích V của khối chóp là
Hình 58
—
3 ’
lần lượt
Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh s có diện tích hai đáy là B, B' và chiều cao bằng /ỉ.
Chọn trục Ox trùng với đường cao của khối chóp và gốc o trùng với đỉnh s. Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt cắt Ox tại I va I' (H.59). Đặt OI = b, or = a (a < b). Gọi V là thể tích của khối chóp cụt. Ta có
b - a a2 + ab + b2
2
Vì B' = B—— vàh = b - a nên
Hình 59
V = ~(B + ^BB' + B'). 3
- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học.
Nghệ nhân làng gốm Bát Tràng
Bài toán
Giả’sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x\ trục Ox và hai đường thẳng X = a và X = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay (H.60). Hãy tính thể tích V của nó.
Giải. Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại X e [a ; b] là hình tròn có bán kính bằng |/(x)|. Do đó, diện tích của thiết
diện là S(x) = rc/2(%). Vậy theo công thức (5) ta có
Hình 60
z>
V = 71 J/2(%)dx. a 
Ví dụ 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng X = 0, X = 71 (H.61).
Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox.
Giải. Áp dụng công thức (6), ta có 71	-ft
V = K Jsin2xdx =	J(1 - cos2%)dx
0	20
Ví dụ 6. Tính thể tích hình cầu bán kính R. Giải. Hình cầu bán kính R là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình tròn
7 2	2
(-R < X < R) và đường thẳng y = 0 xung quanh trục Ox (H.62).
Hình 62
Vậy V = ft J (yỈR2 - X2) dx
-R
Bài tạp
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
à) y = X2, y = X + 2 •,	b)y = |lnx|,y = 1 ; c) y = (x - 6)2, y = 6x - X2.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = X2 + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2 ; 5) và trục Oy.
	'	,	. /T
Parabol y - 2 chia hình tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán kính 2V2
thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox :
y = 1 - X2, y = 0 ;
y = cosx, y = 0, X = 0, X = ft ;
y = tan X, y = 0, X = 0, X = "7.
4
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt
Hình 63
BẠN CÓ BIẾT
LỊCH SỬ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Phép tính tích phân-đã được các nhà bác học sử dụng từ trước thế kỉ XVIII. Đến thế kỉ XIX, Cô-si (Cauchy, 1789 - 1857) và Ri-man (Riemann, 1826 - 1866) mới xây dựng được một lí thuyết chính xác về tích phân. Lí thuyết này về sau được Lơ-be-gơ (Lebesgue, 1875 - 1941) và Đăng-gioa (Denjoy, 1884 - 1974) hoàn thiện.
Để định nghĩa tích phân, các nhà toán học ở thế kỉ XVII và XVIII không dùng đến khái niệm giới hạn. Thay vào đó, họ nói "tổng của một số vô cùng lớn những số hạng vổ cùng nhỏ". Chẳng hạn, diện tích của hình thang cong là tong của một số vố cung lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ. Dựa trên cơ sở này, Kê-ple (Kepler, 1571 - 1630) đã tính một cách chính xác nhiều diện tích và thể tích. Các nghiên cứu này được Ca-va-li-ơ-ri (Cavalierie,1598 - 1647) tiếp tục phát triển.
Dưới dạng trừu tượng, tích phân đã được Lai-bơ-nit định nghĩa và đưa vào kí hiệu J. Tên gọi "tích phân" do Bec-nu-li (Jacob Bernoulli, 1654 - 1705), học trò của Lai-bơ-nit đề xuất.
Như vậy, tích phân đã xuất hiện độc lập với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó, việc thiết lập liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là một phát .minh vĩ đại của Niu-tơn và Lai-bơ-nit.
Khái niệm hiện đại về tích phân, xem như giới hạn của các tổrig tích phân, là của Cô-si vả Ri-man.
BẬI ĩ
ỌC THÊM
TÍNH DIỆN TÍCH BẰNG GIỚI HẠN
Tính diện tích hình thang cong
Xét hình thang cong giới hạn bởi các đường X = a. X = b (a < b), y = 0 và y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a ; ờ].
Đê’ xác định diện tích của hình thang cong trên. Ta dùng phép chia nhỏ, xấp xỉ bởi một hình bậc thang và chuyển qua giới hạn.
Ta chia đoạn [a ; b] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm x0, Xp ..., xn sao cho a = x0< A'j <... <xn=b.
Từ các điểm chia, vẽ các đường thẳng song song với trục Oy, tương ứng chia hình thang cong thành n hình thang cong nhỏ (H.64a).
Hình 64
Tại mỗi hình thang cong Xị^AịBịXị, ta dựng một hình chữ nhật có đáy là đoạn [Xj.-pXj.] và chiều cao bằng /(£.) với ệ. lấy tuỳ ý trên đoạn [x^pXj] (H.64b). Hình chữ nhật nhận được Xị^MịNịXị có diện tích bằng
/(£,)(•*,• -x,._j).
Sô' này xấp xỉ diện tích hình thang cong x^ịẠ.ổ.X;.
Kí hiệu s là diện tích hình thang cong aABb cần tìm, ta có
s ~	)(Xj - xo) + /«2)(x2 - Xj ) + ... + /(£„ )(x„ - xn_ị ),
hay	(1)
i=l
xấp xỉ này càng chính xác nếu tất cả các hiệu số x;. -xf_j càng nhỏ. Sự kiện này gợi ý
cho ta về phép chuyển qua giới hạn khi max (x, -X.) dần tới 0 để thu được diện tích
KZ<Í!
hình thang cong aABb.
Xét
limY/XẶXx.-x._j) khi max (x.-X._J)->().	(2)
~	\<i<n
Người ta chứng minh được rằng nếu /(x) liên tục trên đoạn [a ; ỉ)] thì giới hạn (2) luôn tổn tại không phụ thuộc cách chia đoạn [a ; b] và cách lấy điểm 4j. e [x^ị; x;.], / = 1,2,..., n. Ta coi giới hạn ấy là diện tích của hình thang cong đã cho.
Vậy s = lim V/(£)(x--x-j) khi max(x.-x._j)->0.
“T	l<i<n
/=1
b
Giới hạn này chính là J/(x)dx.
a
2. Áp dụng
Nhờ giới hạn dạng (3), ta có thể tính được diện tích một sô' hình phẳng. Ví dụ 1. Tính diện tích hình thang cong y, giới hạn bởi các đường
y = X2, y = 0, X = 0 và X = 1.
Giải. Ta tiến hành theo phương pháp trên nhưng chia đoạn [a ; 0] thành n phần bằng nhau, tức là độ dài các đoạn [Xj.-pXy]
1 ,
bằng —. Điếm ệị được chọn là mút trái của đoạn [x(._j; x;.], gị = Xị_v Khi đó
(3)
/(£) =
/-1
,/=1,2, ..., n (H.65).
Hình 65
Ta lập tổng dạng (1)
+ ... + («-l)2) =
n(n -1)(2« -1)
6/ỉ3
(n-l)(2«-l)
6n2
lim
n->+00
Vậy s = lim 2L f^i Kxi - Xi-1) =
„->+co.=1
(w-l)(2«-l)
6«2
(vì chia đều đoạn [ứ ; b] nên max(x; -x,._,) -> 0 n -> +oo).
1<;<« ' ' 1
Ví dụ 2. Tính diện tích hình tròn bán kính R.
Giải. Vì diện tích hình tròn không phụ thuộc vị trí của nó trong mặt phẳng Oxy nên để xác định, ta giả sử tâm hình trốn trùng với gốc toạ độ. Hình tròn đôi xứng qua tâm, nên ta chỉ cần tính diện tích của phan nằm ở gồc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ.
Hình tròn được giới hạn bởi đường tròn có phương trình là X2 +y2 = R2. Ta có thể viết phương trình này ở dạng tham số
X = Rcost, y = Rsint, 0<t<2n.
Ta tính diện tích phần tư hình tròn được giới hạn bởi cung tròn x = Rcost, y = Rsint ^0 < t < và hai trục toạ đọ X = 0 và y = 0.
xt
Ta chia đoạn [0 ; /?] trên trục hoành
thành n phần bởi các điểm Xị (i = 0	n)
sao cho các điểm Mị (Ị = 0	n) tương
ứng chia cung tròn thành n phần bằng nhau. Khi đo, số đo các cung nho
đều bằng Điểm ệị được chọn 2/7
trùng với Xị (mút phải đoạn [x(._j; x(.])
X. = Rcos
(ì
-'-ì
2/7 )
^71
71
y,- =7? sin
-ĩ —
2n)
(ị = 1, 2,/7).
xQ=0, y0=/?.
Lập tổng dạng (1), ta được
c Tl .71
COS
<2	2/7
(H.66). Ta có
-cosl	I
ấ f^i Kxi - xi-ỉ} = ẳ *2 sin í 2 “ * 2^ '
/=1	Z=1
n '
= 2R2y sin(/7-i)-^-.sin(2/7-2z + 1)-^-. sin— "	2/7	4/7	4/7
- —2 .	71	. ,	,, 71	.	,.71
=.2R sin -ý— sin(/7-l)-7— .sin(2/7-l)-y— +
4/7 L	2/7	4/7
+ sin(/7 -2)-^- sin(2/7 - 3) 4- + ■■■ + sin	sin—
2/7	4/7	2/7	4/7 _
= R2 sin-^- I cos-^--cos(4/7-3)-^- l + i cos-^--cos(4/7-7)4- 1 + 4/7 V 4/7	4nJ l 4/7	4n)
, (	_ 71	—c 77
+...+ cos-^-cos5-^- <	4/7	4/7
-/?2sin^-
4/7
■ R2 COS-7—-.(/7 — l)sin-^—— 4/7	■	4/7
COS 5— + cos 9 — +... + cos(4/7 - 3)— 4/7	4/7	4/7.
,_„e.. . — n.. ,	, '	/4..	sin(4/7-l)x-sin3x
VI cos5x + cos9x +... + cos(4« -3)x =	 '——,
2sin2x
nên tổng trên viết thành
ẳ f^iXxi Vl) =	cos£.(/2 - l)sin£ - 7?:
i=l
sin(4/2 -1) ~ - sin D2sin7	4/2	^4«
4/2
2ti
2sin — 4/2
sin(4/? -1)-^- - sin
= /?2 COS	-1) sin — -	.
Chuyển qua giới hạn đẳng thức trên khi /2 -> +00 (vì max(x,. -X,.,) -> 0 /2 -> +oo), I<i</I
ta được
s = lim Hxi - xi-ĩ)=
72—>+C0
• TC	1 \	3tt
• / .\Sin-	sin(4tt-l)—--sin—-
2L 71 11 H 4/2 p2	4/2	4/2
7t
4cos-
4/2
= lim
«->+00
/TCOS--.-7 1-- —/r
4/2 4 V nJ 71
4/2
4 cos
4/2
7Ứ?Z
4
4/2	4/2	.71
Vậy diện tích hình tròn bằng tzR2.