SGK Giải Tích 12 - Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
b)y = log! X. 2 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bài toán Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu ? Giải. Gọi số tiền gửi ban đầu là p. Sau n năm, số tiền thu được là pn = P(1 + 0,084)” = /’(1,084)". Do đó Để pn = 2P thì phải có (1,084)” = 2. Do đó n = log! Q84 2 « 8,59. Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n = 9. Vậy .muốn thu được gấp đôi số tiền ban đầu, người đó phải gửi 9 năm. • Những bài toán thực tế như trên đưa đến việc giải các phương trình có chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa. Ta gọi đó là các phương trình mũ. Chẳng hạn, các phương trình 3' = 8, -—- + 3 = 0 là những phương 3X trình mũ. Phương trình mũ cơ bản Phương trình mũ cơ bản có dạng ax = ồ (ư > 0, (7 1). Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa lôgarit. Với b > 0, ta có ax = b X = logữ b. Vớib < 0, phương trình vô nghiệm. Minh hoạ bằng đồ thị Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y - ax và y - b là nghiệm của phương trình ax - b. Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị. Rõ ràng, nếu b < 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm. Nếu b > 0 ta có hai đồ thị trên các hình 37 và 38. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất. Hình 38 Phương trình ax = b (a > 0, a 1) ồ > 0 có nghiệm duy nhất X = logứ b. b < 0 vô nghiệm. 1 „ „ „ , „ 10 ị.4x + 4.4* =5 hay 4X = 2 9 10 Ví dụ 1. Giải phương trình 22x_1 + 4X+1 = 5. Giải. Đưa vế trái về cùng cơ số 4, ta được Vậy X = log4y. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản Người ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải một số phương trình mũ. Đưa về cùng cơ số Ầ1 v ” Giải phương trình 62'v 3 = 1 bằng cách đưa về dạng aAM = aBM và giải phương trình A(x) = B(x). Ví dụ 2. Giải phương trình (l,5)5x 7 = 3 Giải. Đưa hai vế về cùng cơ số -7-, ta được 5x-7 —X—1 Do đó 5x - 7 - -X - 1 X = 1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = 1. Đặt ẩn phụ Ví dụ 3. Giải phương trình 9X -4.3X -45 = 0. Giải. Đặt t = 3X, t > 0, ta có phương trình t2 - 4í - 45 = 0. Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm tị =9, ?2 = -5. Chỉ có nghiệm tỵ - 9 thoả mãn điều kiện t > 0. Do đó 3X = 9. Vậy X = 2. 2 Giải phương trình -|.52x +5.5'r =250 bằng cách đặt ẩn phụ í = 5 Tính %, biết logqx = Ị- J 4 . Lôgarit hoá Ví dụ 4. Giải phương trình 3X.2X" = 1. Giải. Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 (còn gọi là lôgarit hoá), ta được log3(3x.2x ) = log31 log3 3A + log3 2X = 0. Từ đó ta có X + X2 log3 2 = 0jv(1 + xlog3 2) = 0. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là *1 = Ovà x2 = ——= — log2 3. log3 2 II - PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit. Chẳng hạn, các phương trình log Ị X = 4 và log4 X - 2 log4 X + 1 = 0 2 đều là phương trình lôgarit. Phương trình lôgarit cơ bản Phương trình lôgarit cơ bản có dạng logữ X - b (ữ > 0, a * 1). Theo định nghĩa lôgarit, ta có logứ X = b X = ab. Minh hoạ bằng đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = logữ X và đường thẳng y = b trên cùng một hệ trục toạ độ (H. 39 và H. 40). Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của các hàm số y = ỉoga X và đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b 6 R. KẾT LUẬN Phương trình loga X = b (ứ > 0, ứ 1) luôn có nghiệm duy nhất X = ab với mọi b. \ / Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản Người ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải một số phương trình lôgarit. a) Đưa về cùng cơ số 4 Cho phương trình log3 x + logọ X = 6. Hãy đưa các lôgarit ở vế trái về cùng cơ số. Ví dụ 5. Giải phương trình log3 X + log9 X + log27 X = 11. Giải. Đưa các số hạng ở vế trái về cùng cơ số 3, ta được log3 X + log32 X + log33 X = 11 log3 X + ~"log3 X + ■* = 11 log3 X = 6 . Vậy X = 36 = 729. Đặt ẩn phụ 'Giải phương trình log| x-31og2x + 2 = 0 bằng cách đặt ẩn phụ f = log2x. Ví dụ 6. Giải phương trình 5 - log X 1 + log X 5-t 1 + t Từ đó ta có phương trình 1 + t + 2(5 - í) = (5 - 0(1 + í) -í + 11 = -í2 + 4í + 5 t2 - 5t + 6 = 0. Giải phương trình bậc hai theo t, ta được hai nghiệm ÍỴ = 2, t2 thoả mãn điều kiện t 5, t * -1. Vậy logXj = 2, logx2 = 3 nên Xj = 100, x2 = 1000. = 3 đều Giải. Điều kiện của phương trình là X > 0, logx í- 5 và logx * -1. Đặt t = logx (t 5, t * -1), ta được phương trình 1 +-2~!. Giải phương trình log1 X + log2 X = 2. Mũ hoá Ví dụ 7. Giải phương trình log2(5 - 2X) = 2 - X. Điều kiện của phương trình là 5 - 2X > 0. Giải. Theo định nghĩa, phương trình đã cho tương đương với phương trình 2^°ê2(^—2A) _ 22_x (Phép biến đổi này thường được gọi là mũ hoá). Từ đó ta có 5-2Ấ = — « 22* - 5.2X +4 = 0. 2X ' . Đặt t = 2X (/ > 0), ta có phương trình bậc hai t2 - 5t + 4 = 0 với hai nghiệm dương t= 1, t = 4. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là X = 0, X = 2. Bài tập d) (0,5)x+7.(0,5)1_2x = 2. b) 2X+1 +2X_1 +2X =28; d) 3.4X - 2.6X = 9X. Giải các phương trình mũ : (0,3)3x_2 =1; c) 2x2_3x+2 = 4; Giải các phương trình mũ : 32x_1 + 32x = 108 ; c) 64x - 8X -56 = 0; Giải các phương trình lôgarit : log3(5% + 3) = log3(7x + 5) log(x - 1) - log(2% -11)=+ log2(x - 5) + log2(x + 2) = log(x2 - 6x + 7) = log(x - 4. Giải các phương trình lôgarit : Ỷ log(x - 4x - 1) = log 8x - log 4x; logự^ X+ 4 log4 X + logg X = 13.