Giải toán 11 Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song

A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
§3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHANG song song
d c (a)
Tính chất
Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (a) và d song song với đường thẳng d' nằm trong (a) thì d song song với (a).
Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (a). Nếu mặt phẳng (P) chứa a và cắt (a) theo giao tuyến b thì b song song với a.
Hệ qua: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhâì một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phăng.
Gọi o và O' lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng 00' song song với các mặt phẵng (ADF) và (BCE).
Gọi M và N lần lượt là trọng tâm cùa hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song vđi mặt phẵng (CEF).
éjiải
Ta có 00’ là đường trung bình của tam giác BDF nên 00’ // DF, mà DF c (ADF) nên 00’ H (ADF).
Tương tự 00’ // CE và CE c (BCE) nên OO’ // (BCE).
IN 1	_
^■ = 4 suyraMN//ED. IE 3
Tứ giác EFDC là hình bình hành, suy ra ED c (CEF). Gọi I là trung điểm của AB ta có
ID
Ta lại có ED c (CEF) => MN // (CEF).
Cho tứ diện ABCD. Trên tạnh AB lâ'y một điểm M. Cho (a) là mặt phẩng qua M, song song với hai đưìlng thẳng AC và BD.
Tìm giao tuyến của (a) vđi các mặt của tứ diện.
Thiết diện của tứ diện cắt biìi mặt phẵng (a) là hình gì ?
tflẦl
Giao tuyến của (a) với các mặt của tứ diện là các cạnh của tứ giác MNPQ có:
MN // PQ // AC và MQ // NP // BD
Thiết diện tạo bởi mặt
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi o là giao điểm của hai đường chéo AC và
ÚịiẦl
=> AB // MN
BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bời mặt phỉng (a) đi qua o, song song với AB và sc. Thiết diện đó là hình gì ?
(a)//AB
Ta có- <! AB c (ABCD)
MN = (a)n(ABCD)
(a)//sc
Tương tự -Ị SC c (SBC)	=> sc // MQ.
MQ = (ot)n(SBC)
(a)//AB
và AB//PQ
PQ = (a)n(SAB)
Vậy MN // PQ. Do đó tứ giác MNPQ là hình thang.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Trong mặt phẳng (a) cho AABC vuông tại A, B - 60(>, AB = a. Gọi o là trung điểm của BC. Lây s ở ngoài (a) sao cho SB = a và SB 1 OA. Gọi M là một điểm trên cạnh AB, mặt phẳng (P) qua M và song song với SB và OA cắt BC, sc, SA lần lượt tại N, p, Q. Đặt X = BM (0 < X < a).
Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
Tính theo a và X diện tích của hình thang này. Tính X để diện tích này lổn nhất.
-Hưởng iẫn
MNPQ là hình thang vuông.
Vì (a) // SB nên (a) cắt 2 mặt phẳng chứa SB là (SAB) và (SBC) lần lượt theo hai giao tuyến MQ và NP song song với BC nên MNPQ là hình thang.
Vi (a) // OA nên (a) cắt (ABC) theo giao tuyến MN // OA.
Theo giả thiết SB ± OA nên QM ± MN.
Vậy MNPQ là hình thang vuông tại M.
b) Smnpq = |(MQ + NP).MN
Ta có:
Ta có:
MQ SB NP = SB =
= AM = AB CN CB =
>MQ = a-X
NP=
x(4a-3x) _	„ „	3x(4a-3x)
Vậy SMNPQ = 	. Ta có: Smnpq =	—	•
4	12
3x và 4a - 3x có tổng bằng 4a (hằng số) nên tích 4x(4a - 3x) lớn nhất khi
3x = 4a - 3x hay X =	.
2. Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Đoạn u nối trung điểm I của AB và
trung điểm J của CD. Giả sử AB ± CD, (a) là mặt phẳng qua M trên đoạn u
và song song với AB và CD.
Tim giao tuyến của (a) với mặt phẳng (ICD).
Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng (a). Chứng minh thiết diện
là hình chữ nhật.
Tính diện tích hình chữ nhật, biết IM = — u.
3
~HưỞHỹ iẫn
Xác định (a) n (ICD)
(a) n (ICD) có điểm chung M và
CD // (a) nên (a) cắt (ICD) theo giao B
tuyến Mt qua M và song song CD.
Gọi E, F lần lượt giao điểm của Mt với CI
và DI.
PQRN. Vì có NP // QR, PQ // NR và NP 1 PQ (do AB 1 CD).
M C .._ 2ab CJ JPQRN— —•
3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, I là trung điểm của AC, J là một điểm trên cạnh AD sao cho AJ = 2JD. M là một điểm di động trong ABCD, mặt phẳng (MIJ) luôn luôn song song với AB.
Tim tập hợp điểm M.
Tính diện tích thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (MIJ).
-Hướng iẫn
Gọi L là trung điểm của BC, K là điểm trên BD sao cho BK = 2KD. Tập hợp điểm M là đoạn Kl.
Thiết diện cần tìm là hình thang UKL.
A