Giải toán 11 Bài 6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

  • Bài 6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau trang 1
  • Bài 6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau trang 2
§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH
VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
KIẾN THỨC Cơ BẢN
Khái niệm về phép dời hình
Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất
Phép dời hình:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Khái niệm hai hình bằng nhau
Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trong mặt phẵng Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(—1; 3).
Chứng minh rằng các điếm A’(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; I) theo thứ tự là ảnh cùa A, B và c qua phép quay tâm o góc - yo".
Gọi tam giác A^jCj là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có đưục bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm o góc - 90". và phép dối xứng qua trục Ox. Tìm toạ độ các đĩnh của tam giác A^jCj.
Ốịiải
Ta có OA = (-3; 2),
ÕA' = (2; 3) và ÕẤ.ÕÃ^O, từ đó suy ra góc lượng giác (OA; OA) = -90°.
Mặt khác, OA = OA' = x/Ĩ3.
Do đó phép quay tâm o góc -90° biến A thành A'.
Tương tự ÕẼkÕẼT = õcõc = 0
Và OB = OB’ = Vữĩ ; oc = OC’ = 7ĨÕ.
Do đó (T ,	: B i-> B';
(O.-90 )
Cb^C'
Gọi tam giác A,B|C| là ảnh của tam giác A'B'C' qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó A|(2; -3), B|(5; -4), C|(3; -1).
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K. o, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
Ốịiải
Gọi G là trung điểm của ƠF. Phép đối xứng qua đường thẳng EH biến hình thang AEJK thành hình thang BEGF. Phép tịnh tiến theo vectơ EO biến hình thang BEGF thành hình thang FOIC. Nên hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
Chứng minh rằng: Nê’u một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A'B'C'.
Gọi phép dời hình đó là F. Do F biến các đoạn thẳng AB, BC tương ứng thành các đoạn thẳng A'B', B'C' nên nó cũng biến các trung điểm M, N của các đoạn thẳng AB, BC tương ứng theo thứ tự thành các trung điểm M', N' của các đoạn thẳng A'B', B'C’. Vậy F biến các trung tuyến AM, CN của AABC tương ứng thành các trung tuyến A'M', C’N' của AA'B'C'. Từ đó suy ra F biến trọng tâm G của AABC là giao của AM và CN thành trọng tâm G' của AA'B'C' là giao của A'M' và C'N'.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho hai hình thoi ABCD và A’B'C'D' có AC = A’C’, BD = B’D'. Chứng minh rằng hai hình thoi đó bằng nhau.
-Hướng iẫn
Gọi o và O’ lần lượt là tâm của hai hình thoi ABCD và A’B'C’D’. Rõ ràng hai tam giác OAB và 0’A’B’ bằng nhau nên có phép dời hình F biến o, A, B lần lượt thành O’, A’, B’. Vì F bảo tồn khoảng cách và thứ tự của các điểm nên F biến c thành C’, D thành D’. Vậy F biến ABCD thành A’B'C’D’, nghĩa là hai hình thoi đó bằng nhau.