Giải toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

  • Bài tập ôn tập cuối năm trang 1
  • Bài tập ôn tập cuối năm trang 2
  • Bài tập ôn tập cuối năm trang 3
  • Bài tập ôn tập cuối năm trang 4
  • Bài tập ôn tập cuối năm trang 5
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
Trong mặt phẵng toạ độ Oxy, cho các điểm A( I; 1), B(0; 3), C(2; 4). Xác định ãnh của tam giác ABC qua các phép biến hình sau:
Phép tịnh liến theo vectơ V = (2;l).
Phép dôi xứng qua trục Ox.
Phép đối xứng qua tâm 1(2; 1)
Phép quay tâ m o góc 90".
Phép đồng dạng có được bàng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm o ti số k = -2.
Ốjiầi
Gọi tam giác A'B'C là ảnh của tam giác ABC qua các phép biến hình trên, íx' = 2 + X
Biêu thức tọa độ <
[y' = i + y
Ảnh của A, B, c qua T- lần lượt là A'(3; 2), B'(2; 4), C'(4; 5).
V
b) Biểu thức tọa độ
'x' = x
A’(l;-1), B'(0; -3), C'(2;-4).
c) Biểu thức tọa độ
x' = 4-x ',y' = 2-y
A'(3; 1), B'(4;-l), C'(2;-2).
Vẽ hình ta được A'(-l; 1), B'(-3; 0), C'(-4; 2).
Vẽ hình ta được A'(2; -2), B’(0; -6), C'(4; -8).
Cho tam giác ABC nội tiếp dường tròn tâm o. Gọi G và H tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC. CA, AB.
Tìm phép vị tự F biên A, B, C tương ứng thành A', B', c.
Chứng minh rằng o, G, H thẳng hàng.
Tìm ănh của o qua phép vị tự F.
Gọi A", B", C" lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH; Ap Bp C' theo thứ tự là giao điểm thứ hai cùa các tia AH. BH, CH vơi đương tròn (O); A', B', C' tương ứng là chân các đương cao đi qua A, B, c. Tìm ảnh của A, B. c, Ap B(> C( qua phép vị lự tâm H tỉ số —•
e)
Chứng minh chín điểm A', B', c, A", B", C", A’, B’, C' cùng thuộc một đương tròn (đương tròn nà> gọi là đương trơn ơ-le cùa tam giác ABC).
-Hưởng dẫn
F là phép vị tự tâm G, tỉ số - j •
Để ý rằng o là trực tâm của tam giác A'B’C
F(O) = là trung điểm của OH.
Ảnh của A, B, c, Ap Bị, C( qua phép vị tự tâm H tỉ số i tương ứng là A", B", C", a',,b;,c;.
Chứng minh A", B". C", A', B', C' cùng thuộc đường tròn (Oj). Sau đó chứng minh A’, B’, c cũng thuộc đường tròn (o, ). Chẳng hạn, chứng minh OịAỊ = OịA'.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M là trung điếm cùa đoạn
AB, E là giao điểm của hai cạnh bên của hình thang ABCD và G là trọng tâm của tam giác ECD.
Chứng minh rằng bốn điểm s. E, M, G cùng thuộc một mật phảng (a) và mặt phang này cắt cạ hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) theo cùng một giao tuyến d.
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Lấy một điểm K trên đoạn SE và gọi c = sc n KB, D' = SD n KA. Chứng minh rằng giao điểm của AC' và BD' thuộc dưỉlng thắng d nói trên.
ỐỊiải
Gọi N là giao điểm của EM và CD.
Vì M là trung điểm của AB nên N là trung điểm của CD (do ABCD là hình thang)
=> EN đi qua G
=>S,E,M,Ge (a) = (SEM).
Gọi o là giao diêm của AC và BD.
Ta có (ct)n(SAC) = SO
và (ct)n(SBD) = so = d
Ta có (SAD) n (SBC) = SE.
Gọi O' = AC' n BD'.
Ta có AC' c= (SAC), BD' c (SBD)
=>O'eSO = d =(SAC)n(SBD).
A
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B’C’D' có E, F, M và N lần lượt là trung điểm của AC, BD. AC' và BD'.
Chứng minh MN = EF.
ố/ZđZ
Tứ giác ACCA' là hình bình hành nên AC' và A’C cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường. Tương tự BD’ và B'D cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường.
Ta có:
ÍME//CC'
ME = ^-CC' (ME là đường trung bình của tam giác ACC').
Tương tự, trong tam giác DBB’, ta có:
[NF//BB'
nf = Ịbb'.
2
Tứ giác MNFE là hình bình hành nên MN = EF.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và DD'. Hãy xác định các thiết diện của hình lập phương cắt bời các mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC) và (EFK) vơi K là trung điểm của cạnh B'C'.
(Ejiải
Gọi là hình lập phương.
(EFB)	n •íZz = ABIF với FI // AB (hình a)
(EFC)	n // = ECFH với CF // EH (hình b).
(EFC) n .9" = EMC'FL với EM // FC' và FL // C'M (hình c)
Gọi E' là hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng (A'B'C'D’).
Gọi N = EF n E'D', p = NK n C’D'. Vẽ ER // KP, EQ // FP, ta có thiết diện là hình lục giác đều ERFPKQ (hình d)
6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đương thẳng chéo nhau BD’ và B'C.
Tính khoảng cách của hai đương thẳng BD' và B'C.
Ốịiải
R'c I RC' 1
a) Ta có	Ub'CI(D'C'B).
B'CID'C'
Gọi I là tâm hình vuông BCCB’.
Trong mặt phẳng (BCD1) vẽ IK ± BD' tại K.
Ta có IK là đường vuông góc chung của BD' và B'C.
b) Gọi o là trung điểm của BD'.
Vì AIOB vuông tại I nên :
í-ĩ
PỴ
t2 >
KI IOZ IB
„2 + .. 2	„2
a	a	a
■KI =
l7ó
76
7• Cho hình thang ABCĐ vuông tại A và B, có AD = 2a, AB - BC = a. Trên tia Ax vuông góc vói mặt phăng (ABCĐ) lấy một điểm s. Gọi c, O' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên sc và SD.
Chúng minh rằng:
SBC = SCD = 90".
AD', AC' và AB cùng nằm trên một mặt phẳng.
Chứng minh rằng đường thẳng C'D' luôn luôn đi qua một điểm cố định khi s di động trên tia Ax'.
tfiai
ÍBC1AB
a) Ta có c I ' . => BC 1 (SAB)
BC1 SA
=> BC1SB => SBC = 90°.
Gọi K là trung điểm của AD
ta có CK = AB=-Ị-AD 2
nên tam giác ACD vuông tại c.
ÍCD1AC
Ta có c „	=> CD 1 (SAC)
[CD ISA
=> CD 1 SC => SCD = 90°
b) Trong mặt phẳng (SAC) vẽ AC 1 sc và trong mặt phẳng (SAD) vẽ AD' 1 SD.
Ta có AC 1 CD (vì CD 1 (SAC))
và AC 1 sc nên suy ra AC' 1 (SCD) => AC 1 SD. Ta lại có AB1AD và AB1SA
nên AB 1 (SAD) => AB ± SD.
Ba đường thẳng AD', AC và AB cùng đi qua điểm A và vuông góc với SD nên cùng nằm trong mặt phẳng (a) qua A và vuông góc với SD.
Ta có C'D' là giao tuyến của (a) với mặt phẳng (SCD). Do đó khi s di động trên tia Ax thì CD’ luôn luôn đi qua điểm I cố định là giao điểm của ABvàCD.
(AB c (a), CD c (SCD) => I e (a) n (SCD) = CD').