Giải toán 11 Bài 3. Phép đối xứng trục

§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Định nghĩa
x' = x y' = -y
Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứhg trục d.
Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng trục hoặc đơn giản là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd.
Điểu thức tọa độ
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox là
Các tính chất
Tính chất 1: Phép đôi xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2: Phép đôi xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
Tâm đối xứng của một hình
Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình .#'nếu phép đối xứng qua d biến .X'thành chính nó.
Khi đó ta nói -ý/Tà hình có trục đốì xứng.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trong niặl phẵng Oxy cho hai điểm A( I; -2) và B(3; I). Tìm ảnh của A. B và đường thẩng AB qua phép đối xứng trục Ox.
ỐTjiải
Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox ta có: A'( 1; 2), B'(3;-l).
Phương trình đường thẳng A'B' là:	= y 3 3x + 2y - 7 = 0.
Đường thẳng A’B’ là ảnh của đường thẳng AB qua phép đôi xứng trục Ox.
Trong mặt phẵng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình của đương thẳng d' là ảnh của d qua phép đôi xứng trục Oy.
Ốịiải
Lấy hai điểm A(0; 2) và B(—1; -1) thuộc d. Gọi A' = Đ(Oy)(A), B' = Đ(Oy)(B).
Khi đó A'(0; 2), B'(l; -1). Vậy d' có phương trình Y = y ■	, hay 3x + y - 2 = 0.
Cách khác. Gọi M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua phép đốì xứng trục Oy.
Khi đó x' = -X và y' = y.
Ta có M e d 3x-y + 2 = 0 -3x' - y' + 2 = 0
 M' thuộc đường thẳng d' có phương trình 3x + y - 2 = 0.
Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng?
V I E I N A M
Ò
<rL?ả lời: Các chữ cái V, I, E, T, A, M, w, o là những hình có trục đối xứng.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (/): (x - l)2 + (y + l)2 = 4.
Viết phương trình ảnh của (V) qua phép den xứng có trục Ox.
Đáp số: (x - l)2 + (y - l)2 = 4.
Tam giác MND gọi là nội tiếp trong tam giác ABC nếu ba đỉnh của MND nằm trên ba cạnh của tam giác ABC. Hãy tìm tam giác nội tiếp tam giác ABC cho trưởc sao cho nó có chu vi nhỏ nhất.
-Hưởng 2ẫn: D là chân đường cao AABC; M, N lần lượt là giao điểm của D|D2 với AB và BC (với D], D2 là các điểm đối xứng của D qua AB và BC).
Cho tam giác ABC với trực tâm H.
Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA có bán kính bằng nhau.
Gọi O|, 02, 03 là tâm các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm O|, 02, o3bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
-Hướng iẫn: Các đường tròn ngoại tiếp AHAB, AHBC, AHCA có bán kính bằng với đường tròn ngoại tiếp (O) của AABC do điểm đối xứng của H qua các cạnh AABC nằm trên (O).