SGK Hình Học 11 - Bài 1. Đại cương về dường thẳng và mặt phẳng

ĐƯỜNG THĂNG và mặt PHẲNG ■
TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG
♦í* Đại cương vể đường thẳng và mặt phẳng
♦♦♦ Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng
song song
♦♦♦ Đường thẳng và mặt phẳng song song ♦♦♦ Hai mặt phẳng song song ❖ Phép chiếu song song
Hình biểu diễn của một hình không gian
Hình 2.1
Trước đây chúng ta đã nghiên cứu các tính chất của những hình nằm trong mặt phẳng. Môn học nghiên cứu các tính chất của hình nằm trong mặt phẳng được gọi là Hình học phẳng. Trong thực tế, ta thường gặp các vật như : hộp phấn, kệ sách, bàn học ... là các hình trong không gian. Môn học nghiên cứu các tính chất của các hình trong không gian được gọi là Hình học không gian (h.2.1).
§1. ĐẠI CƯƠNG VÊ' ĐƯỜNG THANG
VÀ MẶT PHẲNC
KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
Mặt phẳng
Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn (h.2.2).
Hình 2.2
c)
• Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn (h.2.3).
• Đê’ kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc (). Ví dụ : mặt phẳng (F), mặt phẳng (2), mặt phẳng (ự), mặt phẳng (yổ) hoặc viết tắt là mp(F), mp(<2), mp(a), mp(yổ) hoặc (T5), (2), (a), (/?)...
Điểm thuộc mặt phẳng
Cho điểm A và mặt phẳng (á).
Khi điểm A thuộc mặt phẳng (ữ) ta nói A nằm trên (ơ) hay (ữ) c/?z?<7 A, hay (ợ) đi qua A và kí hiệu là A e (a).
Khi điểm A không thuộc mặt phẳng (à) ta nói điểm A nằm ngoài (a) hay (ộ) không chứa A và kí hiệu là A í (<z).
Hình 2.4 cho ta hình biểu diễn-của điểm A thuộc mặt phẳng (à), còn điểm B không thuộc (ạ).
Hình biểu diễn của một hình không gian
B
- Hình 2.6 là một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác.
Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian.
A, Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác.
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào những quy tắc sau đây.
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất.
Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.
CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Để nghiên cứu hình học không gian, từ quan sát thực tiễn và kinh nghiệm người ta thừa nhận một số tính chất sau.
I Tính chất J
I Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Hình 2.7 cho thấy qua hai điểm A, B có duy nhất một đường thẳng.
Hình 2.7
Tính chất 2
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Hình 2.9. Cửu Đỉnh ở Hoàng Thành, Huế	Hình 2.10
Như vậy một mặt phảng hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Ta kí hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, c là mặt phẳng (ABC) hoặc mp (ABC) hoặc (ABC) (h.2.8).
Quan sát một máy chụp hình đặt trên một giá có ba chân. Khi đặt nó lên bất kì địa hình nào nó cũng không .bị gập ghềnh vì ba điểm A, B, c (h.2.10) luồn nằm trên một mặt phảng.
I Tính chất 3
I Nếu một đường thẳng có hơi điểm phân biệt thuộc một mặt Ệ phang thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt plìẳng đó.
Á2 Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước thẳng trên mặt bàn ? (h.2.11).
Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (<z) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (ạ) hay (a) chứa d và kí hiệu là í/ c (ộ) hay (ặ) D d.
<3 Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn BC (h.2.12). Hãy cho biết M có thuộc mặt phẳng (ABC) không và đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) không ?
cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 4
Tồn tại bốn điểm không
Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói nhũng điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng.
Tính chất 5
I Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chủng I còn có một điểm chung khác nữa.
Từ đó suy ra : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
Hình 2.13. Mặt nước và thành đập giao nhau theo đường thẳng.
Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt (cộ và (fì) được gọi là giao tuyến của (cộ và (yổ) và kí hiệu là <7 = (cộ n (j3) (h.2.14).
Á4 Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm s nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (5AC) và (SBD) khác điểm s (h.2.15).
Ás Hình 2.16 đúng hay sai ? Tại sao ?
I Tính chất ó
I Trên mỗi mặt phẳng, I đều đúng.
Hình 2.15
'	Hình 2.16
ác kết quả đã biết trong hình học phẳng
III. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHANG
Ba cách xác định mặt phẳng
Dựa vàó các' tính chất được thừa nhận trên, ta có ba cách xác định một mặt phẳng sau đây.
"a) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Ba điểm A, B, c không thẳng hàng xác định một mặt phẳng (h.2.17).
b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Khi đó điểm A và đường thẳng d xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp (Â, đ) hay (A, d), hoặc,mp (d, Â) hay (d,A) (h.2.18).
c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thảng ứ và ồ xác định một mặt phẳng và kí hiệu là mp (ứ, ỏ) hay (ứ, b), hoặc mp (/?, ữ) hay (ố, à) (h.2.19).
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, c, D. Trên hai đoạn AB và AC lấy hai
, AM , s AN
điếm M và N sao cho —— = l và —— = 2.
BM	NC
Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN). với các mặt phẳng (ÂB£>), (ÂCD), (ABC), (BCD) (h.2.20).
Điểm D và điểm M cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (ABD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng DM.
Tương tự ta có (DMN) n (ÂCD) = DN, (DMN) n (ABC) = MN.
Trong mặt phẳng (ABC), vì	nên đường thẳng MN và BC cắt nhau
tại một điểm, gọi điểm đó là E. Vì D, E cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (BCD) nên (DMN) n (BCD) = DE.
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau Ox, Oy và hai điểm A, B không nằm trong mặt phẳng (Ox, Oy). Biết rằng đường thẳng AB và mặt phẳng (Ox, Oy) có điểm chung. Một mặt phẳng (a) thay đổi luôn luôn chứa AB và cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi (à) thay đổi.
Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (Ox, Oy) (h.2.21). Vì AB và mặt phẳng (Ox, Oy) cố định nên I cố định. Vì M, N, I là các điểm chung của hai mặt phẳng (à) và (Ox, Oy) nên chúng luôn luôn thẳng hàng. Vậy đường thẳng MN luôn luôn đi qua I cố định khi (à) thay đổi.
Nhận xét. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
Ví dụ 3. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, c, D. Trên ba cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N xà K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I, đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J. Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng.
ỹiải
Ta có J là điểm chung của hai mặt phẳng (MNK) và (BCD) (h.2.22).
Thật vậy, ta có
7 &MK MK^(MNK)
=>Je (MNK)
và •
7 ebd BD c (BCD)
(BCD).
Lí luận tương tự ta có I, H cũng là điểm chung của hai mặt phẳng (MNK) và (BCD).
Vậy I, J, H nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) và (BCD) nên I, J, H thẳng hàng.
Ví dụ 4. Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phảng (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD).
Gọi J là giao điểm của AG và BC. Trong mặt phẳng (AJD),
AG
AJ
AK 1	s	_
- ỉ —77= - nên GK và JD
AD 2
cắt nhau (h.2.23). Gọi L là giao điểm của GK và JD.
Ta có ■
'LeJD
JD^(BCD)
=>L& (BCD).
Vậy L là giao điểm của GK và (BCD).
Nhận xét. Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN
Trong mặt phẳng (à) cho đa giác lồi AỊA2 ... An. Lấy điểm s nằm ngoài (à). Lần lượt nối s với các đỉnh Al,A2, ..., An ta được n tam giác SAjA2, ẴẠ^Ao, ..., SA/IAỈ. Hình gồm đa giác AịA^... An và n tam giác SAjAj, SAọAy ..., SAnAy gọi là hình chóp, kí hiệu là s. A02 ... A. Ta gọi s ià đỉnh và đa giác
A^A^... An là mặt đáy. Các tam giác SÂjÂ2, SA^Ay ..., SAnAị được gọi là
các mặt bên ; các đoạn SAj, SA^, ..., SA là các cạnh bên ; các cạnh của đa
giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,... (h.2.24).
Cho bốn điểm A, B, c, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện') và được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, c, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ASC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó. Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.
Kễ5 Chú ý. Khi nói đến tam giác ta có thể hiểu là tập hợp các điểm thuộc các cạnh hoặc cũng có thể hiểu là tập hợp các điểm thuộc các cạnh và các điểm trong của tam giác đó. Tương tự có thể hiểu như vậy đối với đa giác.
^6 Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp ở hình 2.24.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của AB, AD, sc. Tìm giao điểm của mặt phẳng {MNP) với các cạnh của hình chóp và giao tuyến của mặt phảng {MNP) với các mặt của hình chóp.
Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC, CD lần lượt tại K, L.
Gọi E là giao điểm của PK và SB, F là giao điểm của PL và SD (h.2.25).
Ta có giao điểm của {MNP) với các cạnh SB, sc, SD lần lượt là E, p, F.
Từ đó suy ra
(MNP) n (ABCD) = MN,
(MNP) n (SAB) = EM, (MNP) n (SBC) = EP, (MNP) n (SCD) = PF
s
L
Hình 2.25
và (MNP) n (SDA) = FN.
US’ Chú ý. Đa giác MEPFN có cạnh nằm trên giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp S.ABCD. Ta gọi đa giác MEPFN là thiết diện (hay mặt cắt) của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Nói một cách đem giản : Thiết diện (hay mặt cắt) của hình & khi cắt bởi mặt phẳng (tí) là phần chung của 'J^ và (tí).
BẢI TẶP
Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (tí) chứa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC.
Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).
Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).
Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (tí). Chứng minh M là điểm chung của (tí) với một mặt phẳng bất kì chứa d.
Cho ba đường thẳng dị, d2, d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Cho bốn điểm A, B, c và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, Gc, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh rằng AGa, BGb, CGq, DGd đồng quy.
Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (tí) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi s là điểm nằm ngoài mặt phẳng (tí) và M là trung điểm đoạn se.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phảng (MAB).
b) Gọi o là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng so, AM, BN đồng quy.
Cho bốn điểm A, B, c và D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm p sao cho BP = 2PD.
Tim giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).
Tim giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).
Cho bốn điểm A, B, c vằ D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC.
Tìm giáo tuyến của hai mặt phẳng (1BC) và (KAD).
Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (1BC) và (DMN).
Cho tứ diện ABCD. Gọi MC&N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm p không trùng với trung điểm của AD.
Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tim giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD).
Tìm giao điểm của mặt phẳng (PMN) và BC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và khóng song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C' là một điểm nằm trên cạnh sc.
Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (CAE).
Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C'AE).
Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phảng (SBM).
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
Tìm giao điểm Ị của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).
Tìm giao điểm p của sc và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).