SGK Hình Học 11 - Bài đọc thêm: Áp dụng phép biến hình để giải Toán
Òờơọcttiêm ftp dựng phép biến hình dể giải toán (Bài toán 1 Hai thành phố M và N nằm ở hai phía của một con sông rộng có hai bờ a và b song song với nhau. M nằm phía bờ a, N nằm phía bờ b. Hãy tìm vị trí A nằm trên bờ a, B nằm trên bờ b để xây một chiếc cầu AB nối hai bờ sông đó sao cho AB vuông góc với hai bờ sông và tổng các khoảng cách MA + BN .ngắn nhất. Giả sử đã tìm được các điểm A, B thoả mãn điều kiện của bài toán (h.1.69). Lấy các điểm c và D tương ứng thuộc a và b sao cho CD vuông góc với a,- Phép tịnh tiến theo vectơ CD biến A thành B và biến M thành điểm M'. Khi đó MA = M'B. Do đó : MA + BN ngắn nhất M'B + BN ngắn nhất M’, B, N thẳng hàng. (Bài toán 2 Trên một vùng đông băng có hai khu đô thị A và B năm cùng vê một phía đối với con đường sắt d (giả sử con đường đó thẳng). Hãy tìm một vị trí c trên d để xây dựng một nhà ga sao cho tổng các khoảng cách từ c đến trung tâm hai khu đô thị đó là ngắn nhất. Từ bài toán thực tiễn trên ta có bài toán hình học sau : Cho hai diêm A và B năm về cùng một phía đối với đường thẳng d. Tìm trên d điểm c sao cho AC + CB ngắn nhất. Ọiải Giả sử đã tìm được điểm c. Gọi A' là ảnh của A qua phép đối xứng trục d. Khi đóAC = A'C. Do đó : AC + CB ngắn nhất A’C + CB ngắn nhất B,C,A’ thẳng hàng (h. 1.70). (Bài toán 3 Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, M là trung điểm cạnh BC. Phép đối xứng tâm M biến H thành H’. Chứng minh rằng H' thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. G&ý - Có nhận xét gì về tứ giác BHCH', góc ABH' và góc ACH' (h. 1.71) ? - Chứng minh tứ giác ABH'C là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Nhận xét. Gọi (ỡ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cố định B và c thì M cũng cố định. Khi A chạy trên (ơ) thì theo bài toán 3, H' cũng chạy trên (ơ). Vì trực tâm H là ảnh của H' qua phép đối xứng tâm M nên khi đó H sẽ chạy trên đường tròn (ơ') là ảnh của (ơ) qua phép đối xứng tâm M. (Bài toán 4 c B M Hình 1.72 Cho tam giác ABC như hình 1.72. Đụng' về phía ngoài của tam giác đó các tam giác BAE vaCAF vuông cân tại A. Gọi I,MvàJ theo thứ tự là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh rằng tam giác IMJ là tam giác vuông cân. Xét phép quay tâm A, góc 90° (h.1.72). Phép quay này biến E và c lần lượt thành B và F. Từ đó suy ra EC - BF và EC ± BF. Vì IM là đường trung bình của tam giác BEC nên IM // EC và IM = ị- EC. Tương 2 tự, MJ I IBF và MJ - BF. Từ đó suy ra IM - MJ và IM 1 MJ. Do đó tam giác IMJ vuông cân tại M. (Bài toán 5 Cho tam giác ABC như hình 1.73. Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ÂA7 vuông góc với FK và AM = —FK. Ọiải Gọi D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm A (h. 1.73). Khi đó AD =AB = AF và AD ± AF. Phép quay tâm A góc 90° biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng FK. Do đó DC = FK và DC 1 FK. Vi /W là đường trung bình của tam giác BCD nên AM // CD và AM = ị CD. 2 Từ đó suy ra AM ± FK và AM = ẬfK 2 (Bài toán 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm o bán kính R. Các đỉnh B, c cố định còn A chạy trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên một đường tròn. Gọi I là trung điểm của BC. Do ổ và c cố định nên Ị cố định (h.1.74). Ta có G luôn thuộc IA sao cho IG = jM. Vậy có thể xem G là ảnh của A qua phép vị tự tâm /, tỉ số Gọi O' là ảnh của o qua phép vị tự đó, khi A chạy trên (ơ ; R) thì tập hợp các điểm G là đường tròn ^o'; là ảnh của (ơ ; K) qua phép vị tự trên. (Bài toán 7 Cho điểm A nằm trên nửa đường tròn tâm o, đường kính BC như hình 1.75. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Gọi I là tâm đối xứng của hình vuông. Chứng minh rằng khi A chạy trên nửa đường tròn đã cho thì I chạy trên một nửa đường tròn. ỹMí' Trên đoạn BF lấy điểm A' sao cho BA' = BA (h.1.75). Do góc lượng giác (BA ; BÀ') luôn bằng 45° và BI BI 1 BF 4Ĩ , —— = — = ——— = không đối, BA' BA 2 BA 2 nên có thể xem A' là ảnh của A qua phép quay tâm B, góc 45° , V2 / là ảnh của A' qua phép vị tự tâm B ti sô -y-- Do đó I là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện V2 liên tiếp phép quay tâm B, góc 45° và phép vị tự tâm B, tỉ số -4^- Từ đó suy ra khi A chạy trên nửa đường tròn (ơ) thì I cũng chạy trên nửa đường tròn (O') là