SGK Hình Học 11 - Bài 8. Phép đồng dạng
§8. PHÉP ĐỔNG DẠNG Hình 1.63 Nhà toán học cổ Hi Lạp nổi tiếng Py-ta-go (Pythagore) từng có một câu nói được người đời nhớ mãi : "Đừng thấy bóng của mình ở trên tường rất to mà tưởng mình vĩ đại". Thật vậy, bằng cách điều chỉnh đèn chiếu và vị trí đứng thích họp ta có thể tạo được nhũng cái bóng của mình trên tường giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau. Những hình có tính chất như thế gọi là nhũng hình đồng dạng (h. 1.63). Vậy thế nào là hai hình đồng dạng với nhau ? Để hiểu một cách chính xác khái niệm đó ta cần đến phép biến hình sau đây. ĐỊNH NGHĨA I Định nghĩa Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ sô k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của I chúng ta luôn có M'N' = kMN (h. 1.64). Hình 1.64 Nhận xét Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số l£l. ^1 Chứng minh nhận xét 2. Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk. Á2 Chứng minh nhận xét 3. Ví dụ 1. Trong hình 1.65 phép vị tự tâm ơ tỉ số 2 biến hìnhe*/ thành hình Phép đối xứng tâm I biến hình Ồ8 thành hình Từ đó suy ra phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên sẽ biến hình tí/ thành hình & TÍNH CHẤT I Tính chất Phép đồng dạng tỉ sô' k : Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. I c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó. d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR. ^3 Chứng minh tính chất a. ^4 Gọi A', B’ lẩn lượt là ảnh của A, B qua phép đồng dạng F, tỉ sô' k. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M’ = F(M) là trung điểm của A’B'. 1ST Chú ý. a) Nếu một phép đồng dạng biêh tam giác ABC thành tam giác A'B’C thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C (h.1.66). Phép đồng dạng biêh đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh. HÌNH ĐỔNG DẠNG Chúng ta đã biết phép đồng dạng biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó. Người ta cũng chứng minh được rằng cho hai tam giác đồng dạng với nhau thì luôn có một phép đồng dạng biến tam giác này thành tam giác kia. Vậy hai tam giác đồng dạng với nhau khi và chỉ khi có một phép đồng dạng biến tam giác này thành tam giác kia. Điều đó gợi cho ta cách định nghĩa các hình đồng dạng. Định nghĩa I Hai hình dược gọi là đổng dạng với nhau nếu có một phép I đồng dạng hiến hình này thành hình kia. Ví dụ 2 Tam giác A'B'C là hình đồng dạng của tam giác ABC (h. 1,67a). Phép vị tự tâm ỉ tỉ số 2 biến hình thành hình phép quay tâm o góc 90° biến hình Ổẩ thành hình ctê. Do đó phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên sẽ biến hình thành hình Từ đó suy ra hai hình rí/ và đồng dạng với nhau (h. 1,67b). H/nh 7.67 Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, LvàJ lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và 1C. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau. ỹùí Gọi M là trung điểm của AB (h.1.68). Phép vị tự tâm c, tỉ số 2 biến hình thang JLKI thành hình thang IKBA. Phép đối xứng qua đường thẳng IM biến hình thang IKBA thành hình thang IHAB. Do đó phép đồng dạng có được Hình 1.68 băng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên biến hình thang JLKI thành hình thang IHAB. Từ đó suy ra hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau. ^5 Hai đường tròn (hai hình vuông, hai hình chữ nhật) bất kì có đổng dạng với nhau không ? BÀI Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số y và phép đối xứng qua đường trung trực của BC. Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại /. Gọi H, K,LCâ.J lần lượt là trung điểm của ẢD, BC, KC và ỈC. Chứng minh hai hỉnh thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm /(1 ; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm o, góc 45° và phép vị tự tâm o, tỉ số \Ịĩ. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.