SGK Hình Học 11 - Bài 1. Vectơ trong không gian

CHƯƠNG
VECTO TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG
■
KHÔNG GIAN
♦♦♦ Vectơ trong không gian
♦♦♦ Hai đường thẳng vuông góc
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Hai mặt phẳng vuông góc
♦í* Khoảng cách
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về vectơ trong không gian, đồng thời dựa vào các kiến thức có liên quan đến tập hợp các vectơ trong không gian để xây dựng quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.
§1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
ở lớp 10 chúng ta đã được học về yectơ trong mặt phẳng. Những kiến thức có liên quan đến vectơ đã giúp chúng ta làm quen với phương pháp dùng vectơ và dùng toạ độ để nghiên cứu hình học phẳng. Chúng ta biết rằng tập hợp các vectơ nằm trong mặt phẳng nào đó là một bộ phận của tập hợp các vectơ trong không gian. Do đó định nghĩa vectơ trong không gian cùng với một số nội dung có liên quan đến vectơ như độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, giá của vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ và các quy tắc thực hiện các phép toán về vectơ được xây dựng và xác định hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Tất nhiên trong không gian, chúng ta sẽ gặp những vấn đề mới về vectơ như việc xét sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ hoặc việc phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. Những nội dung này sẽ được xét đến trong các phần tiếp theo sau đây.
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỂ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là AB.
Định nghĩa
I Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu I AB chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí I /zz‘ệw là ã, b,x,ỹ,...
Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ - không, sự bằng nhau của hai vectơ,... được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
Cho hình tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không ?
Á2 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ AB.
Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian
Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong
không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong hình học phẳng.
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh
Theo quy tắc ba điểm ta có
ÃC = Ã5 + 5c (h.3.1).
Do đó : AC + BD — AD + DC + BD
= AD + (BD + DC)
= AD + BC.
Á3 Cho hình hộp ABCD.EFGH. Hãy thực hiện các phép toán sau đây (h.3.2);
TÈ + CD + ẼĨ + GĨC
BE-CH.
Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA' và có đường chéo là AC. Khi đó ta có quy tắc hình hộp là :
ÃB + ÃD + Ã? = ÃC	(h.3.3).
Quy tắc này được suy ra từ quy tắc hình bình hành trong hình học phẳng.
Phép nhân vectơ với một số
AC + BD = AD + BC.
Trong không gian, tích của vectơ d với một số k í- 0 là vectơ kd -được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng :
MN = ^(AB + DC) ;	b) AB + AC + AD = 3AG.
Ọiải ị,
Tacó MN = MA + AB + BN và MN = MD + DC + CN (h.3.4).
Do đó: 2MN = MA + MD + AB + DC + BN + CN
Vì M là trung điểm của đoạn AD nên	A
MA + MD = 0 và N là trung điểm của	/!\
c
Hình 3.4
đoạn BC nên BN + CN = õ. Do đó MN = ^(Ãẽ + DC).
Ta có	AB = AG + GB,
AC = AG + GC,
AD = AG + GD.
Suy ra AB + AC + AD = 3AG + GB + GC + GD.
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên GB + GC + GD - õ.
Do đó ta suy ra AS + AC + AD = 3AG.
Trong không gian cho hai vectơ d và ĩ> đều khác vectơ - không. Hãy xác định các vectơ m = 2d, n = -3b và p = m + n.
ĐIỂU KIỆN ĐỔNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ
Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
Trong không gian cho ba vectơ d, ĩ), C đều khác vectơ - không. Nếu từ một điểm ớ bất kì ta vẽ OA = d, OB - b, oc - C thì có thể xảy ra hai trường hợp :
• Trường hợp các đường thẳng OA, OB, oc không cùng nằm trong một mặt phẳng, .khi đó ta nói rằng ba vectơ d, b, C không đồngphẳng (h.3.5a).
a, b, C luôn luôn song song với
• Trường hợp các đường thẳng OA, OB, oc cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ ã, b, C đồngphẳng (h.3.5b).
Trong trường hợp này giá của các vectơ một mặt phẳng.
b) Ba vectơ ứ, b, ĩ đồng phẳng
Hình 3.5
IS? Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm o.
Từ đó ta có định nghĩa sau đây :
Định nghĩa
I Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các I giá của chúng cùng song song với một mặt phang (h.3.6).
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ BC, AD, MN đồng phẳng.
A
Ọiải
Gọi p và Q lần lượt là trung điểm của AC và BD (h.3.7). Ta có PN song song với MQ và PN - MQ = ■“AD. Vậy rá giác
MPNQ là hình bình hành. Mặt phẳng (MPNQ) chứa đường thẳng MN và song song với các đường thẳng AD và BC.
Ta suy ra ba đường thẳng MN, AD, BC cùng song song với một mặt phẳng. Do đó ba vectơ BC, MN, AD đồng phẳng.
^5 Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi 1 và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Chứng minh rằng các đường thẳng IK và ED song song với mặt phẳng (AFC). Từ đó suy ra ba vectơ AF, IK, ED đồng phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây :
I Định lí 1
I Trong không gian cho hai vectơ ã, b không cùng phương và Ịịịl vectơ C. Khỉ đó ba vectơ a, b, C đồng phẳng khi và chỉ khi ị- có cặp số m, n sao cho C = md + nb. Ngoài ra cặp số m, n là I duy nhất.
^6 Cho hai vectơ d và b đều khác vectơ õ. Hãy xác định vectơ C =2d-ĩ) và giải thích tại sao ba vectơ a, b, C đồng phẳng.
Cho ba vectơ a, b, C trong không gian. Chứng minh,rằng nếu ma + nb + pc = 6 và một trong ba số m, n, p khác không thì ba vectơ d, b, C đồng phẳng.
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm p và Q sao cho AP = ^AD và BQ-^BC. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, p, Q cùng thuộc .một mặt phẳng.
giải
Tacó 'MN = MA + AD + DN và MN = MB+ BC+ CN (h.3.8).
Do đó2MN = AD + BC
hay MN = ^(AD + BC). (1)
Mặt khác vì AP = — AD nên AD - -f- AP, 3	2
BQ = ị~BC nên BC = ị~BQ- 3	2
Do đó từ (1) ta suy ra :
MN = ^(AP + BQ) = ^(AM + MP + BM + MQ).
MN = ^(MP + MQ),vi AM + BM = 0.
4
Hệ thức MN = Ậ MP + 4 MQ chứng tỏ ba vectơ MN, MP, MQ đồng phẳng 4	4
nên bốn điểm M, N, p, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Định lí 1 cho ta phương pháp chứng minh sự đồng phẳng của ba vectơ thông qua việc biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
• Hình 3.9
Về việc biểu thị một vectơ bất kì theo ba vectơ không đồng phẳng trong không gian, người ta chứng minh được định lí sau đây.
Định lí 2
Trong không gian cho ba vectơ không đồng phang a, b, C. Khi đó với mọi vectơ X ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho X = ma + nb + pc. Ngoài ra bộ ba số m, n, p là duy nhất (h.3.9).
Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = ã, AD = b, AE = C. Gọi / là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ d, b, C.
giải
Vì I là trung điểm của đoạn BG nên ta có AI = (AB + AG) trong đó AG - AB + AD + AE
- a+b+c (h.3.10).
Vậy AI =—(a+a + b + c), suy ra
AI -a + -^b + --c.
2 2
BÀI TẬP
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.AB'C'D'. Mặt phẳng (F) cắt các cạnh bên AA', BB', cc, DD' lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:
Cùng phương với Ị A ;
Cùng hướng với IA ;
Ngược hướng với IA.
Cho hình hộp ABCD.AB’C'D'. Chứng minh rằng :
AB + Fc' + dK'^AC' ;
'ẼD-ỮD-BrD' = BB' ;
AC + BA' + ~DB + CD = Q.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi s là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh rằng : SA + sc = SB + SD.
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng :
MN = ^(AD + BC) ;
MN = ^(AC + BD). •
Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho :
ÃE = ÃB + ÃC + ÃD ;
=	+
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng mình rằng : DA + DB + DC - 3DG.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và p là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng :
ĨẢ + 7b + ĨC + ĨD = 0 ;
PI = ị(FÂ + PB + PC + PD).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' = ấ, AB = b, AC - C. Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ B'c, BC' qua các vectơ ấ, b, C.
Cho tam giác ABC. Lấy điểm s nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS = -2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NB = ~NC. Chứng minh rằng ba vectơ AB, MN, sc đồng phẳng.
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF. Chứng minh ba vectơ AC, KI, EG đồng phẳng.