SGK Toán 8 - Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta - lét

§2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét
Có thêm một cách nhận biết hai đường thẳng song song.
V	>
Định lí đầo
Tam giác ABC có AB = 6cm ; AC = 9cm.
Lấy trên cạnh AB điểm B', trên cạnh AC điểm C' sao cho AB' - 2cm ; AC' = 3cm (h.8).
So sánh các ti sô — và ——■
AB AC
Vẽ đường thẳng a đi qua Ẹ’ và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại điểm C".
Tính độ dài đoạn thẳng AC".
Có nhận xét gì về c và C" và về hai đường thẳng BC và BC ?
Ta thừa nhận không chứng minh định lí đảo sau đây :
Định lí Ta-lét đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
GT
AABC, B' e AB, C' e AC AB' _ AC B'B " C'C
KL
B'C' // BC
Quan sát hình 9.
Trong hình đã cho có bao nhiêu cặp đường thẳng song song với nhau ?
Tứ giác BDEF là hình gì ?
So sánh các tỉ sô	và cho nhận xét về mối liên hệ giữa
AB AC BC
các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác ADE và ABC.
Hệ quả của định lí Ta-lét
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
GT
AABC
B'C' // BC (B' e AB ; c e AC)
KL
Chứng minh :
AB' _ AC' _ B'C AB - AC _ BC
Hình 10
Vi B'C' // BC (h. 10), nên theo định lí Ta-lét ta có :
AB' _ AC AB ÃE'
Từ C' kẻ C'D // AB (D G BC), theo định lí Ta-lét ta có :
AC' _ BD AC _ BC
(1)
(2)
- Tứ giác B'C'DB là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối song song) nên ta có :	.
B'C = BD.
- Từ (1) và (2), thay BD bằng B'C, ta cỏ :
AB' _ AC' _ B’C'
AB - AC - BC
► Chú ý
Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại (h.ll):
AB' _ AC' _ B'C' AB - AC - BC
■ C'	B' a
Hình 11
a) DE // BC	b) MN // PQ	c)
Hình 12
BÀI TẬP
6. Tim các cặp đường thẳng song song trong hình 13 và giải thích vì sao chúng song song.
Hình 14
8.
9.
Hình 16
Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau, người ta đã làm như hình 15.
Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng AC, CD, DB bằng nhau ?
Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm như trên mà vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn thẳng bằng nhau ?
Cho tam giác ABC và điểm D ưèn cạnh AB sao cho AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ sổ các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.
LUYỆN TẬP
10. Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B', C' vàH' (h.16).
a) Chứng minh rằng :
AH' _ B'C'
AH - BC '
^1	ọ
b) Áp dụng : Cho biết AH' = I AH và diện tích tam giác ABC là 67,5cm .
Tính diện tích tam giác AB'C.
Tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (h.17).
Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm2.
Sú
12.
13.
Có thể đo được chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia hay không ?
Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để tính chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia (h.18). Nhìn hình vẽ đã cho, hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách AB = X theo BC = a, B'C' = a'. BB' = h.
Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường khá cao bằng dụng cụ đơn giản được không ?
Hình 19 thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm :
Hai cọc thẳng đứng (cọc © cố định ; cọc © có thể di động được) và sợi dây
FC. Cọc © có chiều cao DK = h. Các khoảng cách BC = a, DC = b đo được bằng thước dây thông dụng.
Em hãy cho biết người ta tiên hành đo đạc như thế nào ?
Tính chiều cao AB theo h, a, b.
_ b a
*	Hình 79
Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo).
Dựng đoạn thẳng có độ dài X sao cho :
m
Hướng dẫn :
Câu b) - Vẽ hai tia Ox, Oy.
Trên tia Ox đặt đoạn thẳng OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị.
Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB' - n và xác định điểm A' sao cho
OA _ OA'
OB _ OB' '
Từ đó ta có OA' = X.