SGK Toán 8 - Bài 8. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Hình 7
§8. Các trưòng họp đồng dạng của tam giác vuông
Có những cách riêng để nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.
1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông
Từ các trường hợp đồng dạng của hai tam giác đã xét trước đây, ta suy ra :
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu :
Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia;
Hoặc
Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
Dâ'u hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đổng dạng
Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng trong hình 47.
Hình 47
GT
KL
Để xét xem hai tam giác vuông ABC và A'B'C' đã cho có đồng dạng với nhau không, ta còn có định lí sau :
Định lí 1
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
AABC, AA'B'C', Â’ = Â = 90°
B'C’ _ A'B'
BC - AB
AA'B'C' AABC
Từ giả thiết (1), bình phương hai vế ta được :
B'C'2 _ A'B'2
BC2 - AB2
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
B'C'2 _ A'B'2 _ B'C'2-A'B'2
BC2 AB2 BC2 - AB2
Talạicó:	B’C'2- A'B'2 = A'C’2 ;
BC2 - AB2 = AC2 (suy ra từ định lí Py-ta-go).
(2)
3.
B'C' A'B' A’C’
Từ (2), suy ra :
BC AB AC
Vậy AA'B’C’ AABC (trường hợp đồng dạng thứ nhất).
Áp đụn” kết quả của định lí đối với hai tam giác vuông A'B'C' và ABC đã cho ở H ta thấy rằng :
A'B' B'C' 2	5
——— =	(vì — = —).
AB BC 4	10
Vậy AA'B'C' co AABC (theo tỉ số đồng dạng k = -^).
TỈ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đổng dạng
Định lí 2
Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Học sinh tự chứng minh theo hướng dẫn sau :
A'B'
Vẽ hai tam giác đồng dạng ABC và A'B'C với tỉ số đồng dạng là k -	_ ,
'	AB
hai đường cao tưomg ứng là AH và A'H' (h.49). Chứng minh AA'B’H' co AABH A' H'
rồi suy ra ——— = k .
Từ Định lí 2, suy ra : Định lí 3
Tỉ sô diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
(Học sinh tự chứng minh).
BÀI TẬP
46.
47.
Trên hình 50, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng ?
Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm. Tam giác A'B'C đồng dạng vói tam giác ABC và có diện tích là 54cm2. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C.
48.
Hình 50
49.
50.
51.
LUYỆN TẬP
ở hình 51, tam giác ABC vuông ỏ' A và có đường cao AH.
Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau ? (Hãy chỉ rõ từng cặp tam giác đồng dạng và viết theo các đỉnh tương ứng).
Cho biết AB = 12,45cm, AC = 20,50cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH và CH.
Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đất có độ dài là 36,9m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,lm cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 1,62m. Tính chiều cao của ống khói (h.52).
Chân đường cao AH của tam giác vuông ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài 25cm và 36cm. Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó (h.53).
Hướng dẫn : Trước tiên tìm cách tính AH từ các tam giác vuông đồng dạng, sau đó tính các cạnh của tam giác ABC.
C-C"V d B.é
A	c
Hình 52
Hình 53
Bóng của một cột điện trên mặt đất có độ dài là 4,5m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,lm cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,6m. Tính chiều cao của cột điện.
52. Cho một tam giác vuông, trong đó cạnh huyền dài 20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm. Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền.