SGK Toán 8 - Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác

§3. Tính chất đưòng phân giác của tam giác
Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện
với góc đó thành hai đoạn thẳng theo tỉ số nào ?
Định !í
Vẽ tam giác ABC, biết:
AB - 3cm ; AC = 6cm ; Ả - J 00°.
Dựng đường phân giác AD của góc A
(bằng compa, thước thẳng), đo độ dài
các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh các
AB , DB ,
tí sô và —— (ỈĨ.2Ơ).
AC DC
AB DB
Ta có -ỵ— = —— (đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành hai đoạn AC * DC
thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy). Kết quả trên đúng với tất cả các tam giác nhờ định lí sau đây :
Đinh lí
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
GT
AABC
AD là tia phân giác của BAC JD G BC)
KL
DB AB DC AC
Chứng minh :
Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E (h.21).
Ta có :
BAE = CAE (giả thiết).	Hình 21
Vì BE // AC, nên BEA = CAE (so le trong).
Suy ra BAE = BEA . Do đó tam giác ABE cân tại B, suy ra BE = AB.
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét đối với tam giác DAC, ta có :
DB BE DC - AC'
	DB AB
Từ (1) và (2) suy ra —— = ——■■
DC AC
(1)
(2)
Chú ý
Định lí vẩn đúng đối với tia phân giác của góc ngoài của tam giác. Trong hình 22 ta có :
D'B _ AB D'C ” AC
(AB * AC).
Hình 22
Xem hình 23a.
Tính -.
y
Tính X khi y = 5.
b)
BÀI TẬP
Tính X trổng hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.
a)
b)
Hình 24
Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác ABD và diện tích của tam
giác ACD bằng — • n
17. Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D. tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC (h.25).
A
Hình 25
18.
19.
LUYỆN TẬP
Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của
góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.
Cho hình thang ABCD (AB // CD).
Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E
và F.
Chứng minh rằng :
AE BF
AE BF a ED ~ FC
b) = 5- AD BC
20.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại o. Đường thẳng a qua o và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F (h.26).
Chứng minh rằng OE = OF.
21.
Chứng minh răng OE = OF.	Hình 26
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích của tam giác ABC là s.
Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiếu
22.
phần trăm diện tích tam giác ABC ?
Đố. Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau
Ôj = Ô2 = Ô3 = Ô4 = Ô5 = Ô6.
Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức từ các kích thước đã cho.