Giải toán 9 Bài 1. Góc ở tâm. Số đo cung

§ 1. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG A. Tóm tắt kiến thức
Hình 1
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Trong hình 1, AOB là góc ở tâm chắn cung AmB .
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Sô' đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ.
Sô'đo của nửa đường tròn bằng 180°.
3.. Trong một đường tròn (hoặc hai đường tròn bằng nhau) :
Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có sô' đo bằng nhau ;'
Trong hai cung, cung nào có sô'đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Nếu M là một điểm trên cung AB thì: sđ AB = sđ AM + scl MB .
B. Ví dụ
Hình 2
Từ một điểm A ở trên ‘đường tròn (O ; R) ta vẽ dây AB và sau đó vẽ dây BC sao cho AB = R, BC = R\/2 (điểm B nằm trên cung nhỏ AC). Tính số đo của hai cung AC. > Giải (h.2)
Vẽ các bán kính OA, OB, oc. Tam giác AOB là tam giác đểu nên AOB = 60°. Suy ra sđAB = 60°.
Tam giác BOC có BC2 = (rVz ) = 2R2, inật khác OB2 + oc2 = R2 + R2 = 2R2.
Suy ra BC2 = OB2 + oc2 nên A BOC vuông tại o.
Do đó BC = 90°.
Vì điểm B nằm trên cung AC nên sđ AC = sđ AB + sđ BC = 60° + 90° = 150°.
Số đó của cung lớn AC là : sđ AmC = 360° - 150° = 210°.
Nhận xét: Trong một đường tròn, nếu biết bán kính và độ dài của một dây cung thì có thể tính được số đo cung thông qua việc tính góc ở tâm ứng với cung đó.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Giải (h.3)
Cung cả đường tròn có số đo là 360°, được < cung có số đo là 30°. Do đó :
Góc ở tâm lúc 3 giờ là 30°.3 = 90°.
Góc ở tâm lúc 5 giờ là 30°.5 = 150°.
Góc ở tâm lúc 6 giờ là 30°.6 = 180°.
Góc ở tâm lúc 12 giờ là 0°.
Góc ở tâm lúc 8 giờ tối là 30°.4 = 120°. Cảnh báo ! Nếu bạn tính góc ở tâm lúc 8 được 240° thì bạn đã lầm. Bạn cần nhớ số đ<
Hướng dẫn (h.4)
Có 8 góc ỡ tâm.
Đáp số: 40° ■ 140°; 180°.
Hướng dẫn (h.5, h.6)
Đo các góc ở tâm AOB, suy ra số đo của cung nhỏ AmB, từ đó suy ra số đo của cung lớn AnB.
thành 12 cung bằng nhau, mỗi
giờ bằng cách lấy 30° nhân với 8 ) của góc không vượt quá 180°.
sđ AnB = 360° - sđAmB.
Giải, (h.7) AAOT vuông cân nên AOB = 45°. Do đó sđẤBnhỏ = 45°.
Suy ra sđ AB lớn = 360a - 45° = 315°.
Hướng dẫn (h.8)
Hình 8
Tính số đo của góc ở tâm được 145°. sđẤBnhỏ=145°; sđẤBlớn = 215°
Hướng dẫn ỌưS))
Có ba góc ở tâm, mỗi góc bằng 120°.
Số đo của mỗi cung nhỏ bằng 120° ;
Số đo của mỗi cung lớn bằng 240°.
Giải (h. 10)
a) Các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ có số đo bằng nhau vì chúng có các góc ở tâm tương ứng bằng nhau.
' b) Xét đường tròn nhỏ, các cặp cung nhỏ bằng nhau là :
BN = CP ; BP = CN .
Xét đường tròn lớn, các cặp cung nhỏ bằng nhau là :
A
Hình 7
Hình 10
AM = DQ; AQ = DM.
c) Xét đường tròn nhỏ, các cặp cung lớn bằng nhau là :
BPCN = CNBP; BNCP = CPBN.
Xét đường tròn lớn, các cặp cung lớn bằng nhau là :
AQDM = DMAQ ; AMDQ = DQAM .
Hướng dãn
Đúng.
Sai, vì không rõ hai cung có cùng nằm trên một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau hay không.
Sai (như trên).
Đúng.
Giải
• Trường hợp điểm c nằm trên cung nhỏ AB (h. 11) : sđ AB = sđ AC + sđ BC
=> sđ BC = sđ AB - sđ AC = 100°-45° = 55°.
Hình 12
sdBAC = 360° - 55° = 305°.
• Trường hợp điểm c nằm trên cung lớn AB (h. 12) sdBC = sdBA + sdAC = 100° + 45° = 145°. sdBmC =360°- 145° = 215°.
D. Bài tập luyện thêm
Cho đường tròn (O ; R). Vẽ dây AB sao cho cung lớn AB gấp 3 lần cung nhỏ AB. Tính độ dài của dây AB.
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là D, E, F. Biết số đo của cung EF lớn hơn số đo của cung DE là 20°. Số đo của cung DE lớn hơn số đo của cung DF là 20°.
Tính số đo của các cung DF, DE và EF.
Tính số đo các góc của tam giác ABC.
3. Cho đường tròn (O ; 2), cung AB có số đo là 120°. Các tiếp tuyến tại A và của đường tròn cắt nhau tại c. Tính diện tích tứ giác AOBC.
> Hướng dẫn - Đáp sô'
1. Gọi số đo của cung nhỏ AB là X (h. 13).
Suy ra số đo của cung lớn AB là 3x.
Ta có X + 3x = 360°
=> X = 90°.
Xét AAOB vuông tại o, ta có AB2 = OA2 + OB2 = 2R2 => AB = Ra/2 .
Hình 13
2.
(h.14)
Ta đặt sđ DF = X thì sđ DE = X + 20, sđEF Ta có X + (x + 20) + (x + 40) = 360°
x= 100°.
Do đó sdDF = 100° ; sdDE = 120° ; sdEF = 140°.
Xét tứ giác AFOD, ta có :
 = 360° - (100° + 90° + 90°) = 80°.
Tương tự ta có B = 60°, c - 40°.
= X + 40.
A
Hình 14
3. (h. 15) Vì sđẤÌ = 120° nên Ấõì = 120°.
Do đó ÕÃB = OBA = 30°.
Ta lại có ÕÃC = OBC = 90°,
suy ra ACB = 60° và AABC đều.
Ta tính được OH = Ậ OA = 1.
2
AH =	=	; AB=2ự3.
2
CH = AB-^ =	= 3
2 2
Hình 15
Tứ giác AOBC có hai đường chéo vuông góc nên có diện tích là :
s = ịAB.OC=ị.273.4 = 473 (đvdt).
2 2
Nhận xét: Bạn có thể tính diện tích tứ giác AOBC bằng cách tính tổng diện tích của AAOB và AACB.
s = ị AB.OH + ị AB.CH = ị AB(OH + CH).
2 2 2
Ta lại được kết quả như trên.