Giải toán 9 Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

§8. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP 
A. Tóm tắt kiến thức
Định nghĩa
Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn (h.108).
Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn (h. 108).
Định lí
Bất kì đa giác đều nào cũng cố một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. Tủm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều.
B. Ví dụ
Một đa giác đều có n cạnh, độ dài mỗi cạnh là a, nội tiếp đường tròn (O ; R) và ngoại tiếp đường tròn (O ; r). Chứng minh rằng :
a
n
b)r =
a
n
> Giải (h. 109)
Gọi AB là một cạnh của đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của AB.
Ta có AB = a, OB = R, OM = r và Ấõì =	5
n
MOB =
Hình 109
n
Xét AMOB vuông tại M, ta có :
180° 180° MB = OB-sinOj = R. sin do đó AB = 2R sin
Vậy a = 2R sin (1) từ đó suy ra R =	——
n 180° 2 sin
(2)
Xét AMOB vuông tại M, ta có
18f)°	180°
MB = OM.tgO, = r.tg ? do đó AB = 2r. tg
n	n
180°	â
Vậy a = 2r. tg ■	(3) từ đó suy ra r =	-——
n	180°
(4)
2tg-
Nhận xét : Nếu biết số cạnh và độ dài mỗi cạnh của đa giác đều thì có thể tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp hoặc nội tiếp theo các công thức (2) và (4).
Ngược lại nếu biết số cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp hoặc nội tiếp thì có thể tính được độ dài mỗi cạnh của đa giác đều nội tiếp theo công thức (1) hoặc ngoại tiếp theo công thức (3).
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Giải (h. 110)
Bạn đọc tự vẽ.
Vẽ hai đường kính AC, BD vuông góc với nhau. Tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O ; 2cm).
Vẽ OM ± AB. Tam giác MOB vuông cân nên r2 + r2 = R2 => 2r2 = 22, do đó r = 77 (cm). Vẽ
đường tròn (O ; 77 cm) ta được đường tròn nội tiếp hình vuông.
a) Bạn đọc tự vẽ.
Giải (h. 111)
b) Vẽ các đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC. Chúng gặp nhau tại o. Vẽ đường (O ; OA) ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.
Ta có R = OA = IAD.
3
Vậy R = |.^ = 77 (cm).
Vẽ đường tròn (O ; OD) ta được đường ưòn nội tiếp tam giác đều. Ta có
r = OD = ị .AD = 7
3	3	2	2
(cm).
373 77
A
D
Hình 112
Từ A, B, c vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O ; R), chúng cắt nhau tại I, J, K. Tam giác IJK là tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O ; R).
63. Giải (h. 112)
Vẽ sáu dây liên tiếp, AB = BC = CD = DE = EF = FA = R ta được lục giác đều nội tiếp. Độ dài mỗi cạnh a = R.
Tam giác ACE là tam giác đều nội tiếp.
... X. ,	™ ■ 180°
Độ dài môi cạnh a = 2Rsm—-—
= 2R.^ = r77.
2
• Vẽ đường kính MN 1 AD.
Tứ giác AMDN là hình vuông nội tiếp.
X. ,	_ . 180°	72	/-
Độ dài mỗi cạnh a = 2Rsin—— = 2R.-V1 = R72 .
4	2
Hình 113
64. Giải (h. 113)
Ta có sđ AD = 360° - (60° + 90° + 120°) = 90°.
Vậy AD = BC, suy ra A] = Cj. Do đó AB // CD.
Tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này nội tiêýp nên là hình thang cân.
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
_ sdAB + sdCD 60° + 120° _ nno Ta có AIB = —	=	—	= 90 .
2 2
Do đó AC 1 BD.
Vì sđ AB = 60° nên độ dài AB là độ dài một cạnh của lục giác đều nội tiếp. Vậy AB = R.
Vì sđAD = sđBC = 90° nên AD và BC có độ dài bằng độ dài một cạnh của hình vuông nội tiếp. Vậy AD = BC = r72 . Vì sđCD = 120° nên độ dài CD là độ dài một cạnh của tam giác đều nội tiếp. Vậy CD - r73 .
D. Bài tập luyện thêm
Một đường tròn có bán kính 2cm. Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn đó.
3.
>
1.
Một đa giác đều nội tiếp đường tròn (O ; 3cm), có độ dài mỗi cạnh là 3V2 cm. Tính diện tích của đa giác đều đó.
Hình 114
Cho đường tròn bán kính R. Tính tỉ số diện tích hình vuông ngoại tiếp với diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn đó.
Hướng dẫn — Đáp sô'
(h.114). Gọi độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ABC là a.
Ta có a = r73 = 2^/3 (cm).
Đường cao AH =	— = 3 (cm).
Diện tích của tam giác đều là :
180°
SABC =	273.3= 3^3 (cm2).
Ta có a = 2Rsin ^^ , suy ra 3V2 = 2.3.sin-
n
,;J80° -
Do đó sin	 =	= sin45 .
n 2
Vậy ■■ = 45 =>n = 4. n
Đa giác nội tiếp đó là hình vuông.
Diện tích hình vuông đó là s = (3V2) = 18 (cm2).
Độ dài mỗi cạnh hình vuông ngoại tiếp đường tròn bán kính R là
180°
a! = 2R.tg—— = 2R.tg45° = 2R. n
Độ dài mỗi cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính R là :
a2 = 2Rsin-^ = 2R.sin45° = R^2 . n
Tỉ số diện tích của hai hình vuông đó là :
( a >
al
2
í 2R ì
IrV2 J
s, J HịỴ r 2R f n s2