Giải toán 9 Bài 2. Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

§2. ĐỔ THỊ CỦA HÀM SỐ y = ax2 (a 0)
A. Tóm tắt kiến thức
Đồ thị của hàm sốy = ax2 (a ^0) là một đường, cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó gọi là một parabol với đỉnh o.
Nếu a > 0 thì đồ thi nằm phía trên trục hoành và o là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và o là điểm cao nhất của đồ thị.
Lưu ý. Vì tính đối xứng của đồ thị qua trục Oy nên khi vẽ đồ thị ta chỉ cần xác định một số điểm ở bén phải trục Oy rồi lấy các điểm lần lượt đối xứng với chúng qua trục Oy.
B. Ví dụ
Ví dụ 3. Xác định giá trị hệ số a của hàm số y = ax2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm M(-0,5 ; 3).
> Giải. Vì M(-0,5 ; 3) thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 nên 3 = a.(-0,5)2 hay 0,25a = 3. Do đó a = 3 : 0,25.	•
Vậy a = 12.
Ví dụ 4. Đồ thị của hàm số y = ax2, đi qua điểm M(2 ; -5). Hỏi những điểm nào sau đây thuộc đồ thị của nó ?
N(4 ;-20) ;	b) P(-2;-5);	c)Q(-3;loj.
❖ Phân tích. Muốn biết một điểm có thuộc đồ thị của hàm số hay không ta cần kiểm tra xem toạ độ của điểm đó có thoả mãn đẳng thức xác định hàm số đó hay không. Vì thế trước hết ta cần xác định hệ số a.
> Giải.
. 9 x 9 2
Vì đổ thị của hàm sô đi qua điếm M(2 ; -5) nên -5 = a.2 .
5 ' , ,	5 2
Do đó a = và hàm số đã cho là y = X .
4	4
Với X = 4 thì y =	,42 = - 20.
4
Vậy N thuộc đồ thị của hàm số.
Với X = -2 thì y = -- .(-2)2 = -5.
4
Vậy p thuộc đồ thị của hàm số.
Với X = -3 thì y =	.(-3)2 = -^7* 10.
4	4
Vậy Q không thuộc đồ thị của hàm số.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
X
-2'
-1
0
1
2
3 2 y = -X
2
6
3
2
0
3
2
6
X
-2
-1
.0
1
2
3 2
y 2*
-6
3
2
0
3
2
-6
(h.29) Hai đồ thị đối xứng với nhau qua trục Ox. Thật vậy, hai điểm (1 ; 1,5) và (1 ; -1,5) đối xứng với nhau qua Ox. Tương tự : các cặp điểm (-1 ; 1,5) và (-1 ; -1,5); (2 ; 6) và (2 ; -6) ; (-2 ; 6) và (-2 ; -6) đối xứng với nhau qua Ox.
Hướng dẫn.
(h.3O).
,	9	9	9
Tung độ của A là Ỷ, của B là -, của c là ý.
a) Đồ thị hàm số (h.31).
Đáp số: b) f(—8) = 64 ; f(-l,3) = 1,69;
f(-0,75) = 0,4225 ; f(l,5) = 2,25.
(0,5)2=ị.
4
Đó là tung độ của điểm A trên đồ thị có hoành độ bằng 0,5. (-1,5)2 là tung độ của điểm B trên đồ thị (h.31). Dođó(-1,5)2 = 2p
Giải, a) Điểm M(2 ; 1) (h.32) thuộc đồ thị nên 1 = a.22 = 4a.
Do đó a = — .
4
Khi X = 4 thì y = 1,42 = 4.
Vậy điểm A(4 ; 4) thuộc đồ thị.
Chỉ cần lấy thêm hai điểm M' và A' lần lượt đối xứng với M và A qua Oy.
y-
6-
5"
4-
3’
2"
1	
—í	1	1	I—— h
-4 -3 -2 -1 o 1
H	1-
3	4
Hình 32
Trả lời : (h.33) a) a =	.
Tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ X - -3 là 4,5.
Đó là điểm M(4 ; 8) và M'(-4 ; 8).
Giải, a) Đồ thị (h.34)
Toạ độ các giao điểm của hai đồ thị là : M(3 ; 3), N(-6 ; 12).
Trả lời : (h.35).
Khi X tăng từ -2 đến 4 thì : Giá trị lớn nhất của y là 0. Giá trị nhỏ nhất của y là -12.
1. Cho hàm sô y = f(x) = ax . Đồ thị của nó đi qua điếm A(2 ; -1):
Xác định hệ số a.
Vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị vừa tìm được của a.
9'
D. Bài tập luyện thêm
Chứng tỏ rằng điểm Mị^-3 ; ~-ịJ thuộc đồ thị. Tìm trên đồ thị điểm M’ có
9 ,
tung độ là - — và xác định hoành độ của M'.
Không làm tính, dùng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hãy so sánh f(-v/3)vàf(-l).
Cho hàm số y = -4,5x2. Tim giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y :
Khi -3 < X < -1 ;
Khi-l<x<3.
X = — X - 1
o4 4
rồi so sánh các nghiệm tìm được với các hoành độ của hai giao điểm trong câu b). > Hướng dẫn - Đáp sô'
7>ử/ờ// a) a =-—.
4
Điếm M thuộc đồ thị hàm số y = —ỳx . Điếm M' có hoành độ là 3.
4
f(-V3)<f(-l).
Giải, a) Vì a = -4,5 < 0 nên hàm số đồng biến khi X < 0.
Do đó khi -3 < X < -1 thì f(-3) < f(x) < f(-l).
Vì thế giá trị nhỏ nhất của y là f(-3) = -4,5.(-3)2 = -40,5.
Giá trị lớn nhất của y là : f(-l) = -4,5.
Vì hàm số đồng biến khi X < 0 nên khi (-1) < X < 0 thì f(-l) < f(x) < f(0).
Vì hàm số nghịch biến khi X > 0 nên khi 0 f(x) > f(3) và f(l)>f(3).
Do đó khi -1 < X < 3 thì giá trị lớn nhất của y là f(O) = 0.
Vì f(-l) = f(l) nên f(-l) > f(3).
3.
Do đó khi -1 < X < 3 thì giá trị nhỏ nhất của y là f(3) = -40,5.
Trả lời: b) Toạ độ các giao điểm của hai đồ thị là : Mự ; Ỵ J, N(4 ; 4).
c) Ta có : — X2 = — X - 1 X2 = 5x - 4 X2 - 5x + 4 = 0 4	4
 X2 - X - 4x + 4 - 0 (x2 - x) - (4x - 4) = 0 x(x - 1) - 4(x - 1) = 0 (x - l)(x - 4) = 0 X = 1 hoặc X = 4.
Các nghiệm tìm được lần lượt là hoành độ của M và N.