Giải toán 9 Bài 6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

§6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
A. Tóm tắt kiến thức
»
Hệ thức Vi-ét
Nếu Xj, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thì b
Xị + x2=-~- a
ứng dụng
Nếu phương trình ax + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì nó có hai nghiệm :
Xị = 1 và x2= —.
a
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì nó có hai nghiệm :
Xị = - 1 vax2 =	.
<7
- r X , . X	9	\	1	2	7	nỉ'
Nếu biết một nghiệm của phương trình ax + bx + C = 0 là Xj thì
b	I r	c
x2-	Xị hoặc x2 =	nêu Xị
a	'	axj
Nếu hai số có tổng bằng s và tích bằng p thoả mãn điều kiện s2 - 4P > 0 thì chúng là hai nghiệm của phương trình X2 - Sx + p = 0.
Nêu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là X], x2 thì đa thức ax + bx + c có thê phân tích thành tích như sau :
ax2 + bx + c = a(x - Xj)(x - x2).
B. Ví dụ
Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy tìm tổng và tích của hai nghiệm (nếu có) của phương trình :
4x2 + 9x + 2 = 0 ;	b) -6x2 + 5x + 1 = 0 ;
5x2-lOx - 2 = 0 ;	d) 7x2 + 3x + 1 = 0.
❖ Phân tích. Ta chỉ tìm tổng và tích hai nghiệm của phương trình thì phương trình đó phải có nghiệm. Vì thế, trước hết ta phải xét biệt thức A của phương trình để biết phương trình có nghiệm hay không.
> Giải, a) A = 92 - 4.4.2 = 81 - 32 = 49 > 0.
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt X], x2.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có : X] + x2 =	,
X1-X2 =
2_J_ 4 - 2
Phương trình - 6x° + 5x + 1 - 0 có hai nghiệm phân biệt Xị, x2 vì có a = -6, c = 1 trái dấu.
-6 6
Theo hệ thức Vi-ét, ta có : Xị + X2 = —77 = 7,
c) Phương trình 5x - lOx - 2 = 0 có a = 5, c = -2 trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt Xị, x2.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có : X] + X2 = —= 2,
Phương trình 7x2 + 3x + 1 - 0 có A = 32 - 4.7.1 = 9 - 28 < 0.
Do đó phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình :
4375x-5127x +752 = 0;
521x2 + 319x-202 = 0;
491x2-2012x- 2503 = 0.
> Giải. a) Vì 4375 -5127 + 752 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là
Vì 521 - 319+ (-202) = 521 -319 - 202 = 0 nên phương trình có hai * nghiệm là :
Xj = -l, x2 =
-202 202 521 - 521
Vi 491 - (-2012) - 2503 =491 + 2012 - 2503 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là :
-2503	2503
Ví dụ 3. Tim hai số u và V trong mỗi trường hợp sau :
a) u + V = 20, uv = 91 ; c) u - V = 7, uv = 120 ;
b) u + V = 15, uv = -100 ; d) u + V = 4, uv = 36.
> Giải, a) Xét phương trình X2 - 20x + 91 = 0.
Vì A' = 102 - 91 = 9 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm là
x,=-(-10) + 3 = 13,x2 = -(-10)-3=7. Vậy u = 13, V - 7 hoặc u = 7, V = 13. b) Xét phương trình X2 - 15x - 100 = 0.
A = 152 - 4.1.C-Í00) = 225 + 400 = 625.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
15 + 25 J _ 15-25 _ c X1 = ----- = 20, x2 =	-- = -5.
Vậy u = 20, V = -5 hoặc u = -5, V = 20.
Đặt v' = -V, ta có u + v' = 7 và uv' = -120.
Xét phương trình : X2 -7x - 120 = 0.
A = 72 - 4.1.(-120) = 49 +480 = 529 = 232.
7529 = 23.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
_ -(-7) + 23	„	-(-?)-23 _
Xj = —ỳ2	= 15 , x2 =	= -8.
Do đó u = 15, v' = -8 hoặc u = -8, v' = 15.
Vậy u = 15, V = 8 hoặc u = -8, V = -15.
Xét phương trình X2 - 4x + 36 = 0.
A' = 22 - 36 < 0.
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số u và V nào thoả mãn điều kiện đã cho.
Ví dụ 4. Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm X], x2. Chứng tỏ rằng ax + bx + c = a(x - Xị)(x - x2).
Áp dụng kết quả trên hãy phân tích đa thức thành nhân tử : a) 4x2 + 7x + 3 ;	b) 2x2 — 5x + 1.
> Giải. Ta có
a(x - Xị)(x - x2) = a(x2 - XjX - X2X + XjX2) = a[x2 - (xI + x2)x + XjX2].
b	c
Theo hệ thức Vi-ét, Xj + x2 = —, XịX2 = —.
Do đó a(x - Xj)(x - x2) = a
..2 b 1	, c
X -	- X +-
2 b c = a| X +—X + —
2
= ax + bx + c
Áp dụng :
a) Giải phương trình 4x + 7x + 3 = 0.
Vì4-7 + 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là X j = -1, x2
Vậy4x2 + 7x + 3=4[x-(-l)]
= 4(x+l)|x+-^| =
b) Giải phương trình 2x2 - 5x + 1 = 0.
A = 5 -4.2.1 = 25-8= 17.
5 + VĨ7 5-VT7
	 .	’ X? = 	.	•
4	2	4
Xj =
/
Vậy 2x - 5x + 1 = 2
5 + -Ự17 X - 	—
X 4	;
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
25. Trả lời.- a) A = 281, Xj + x2 = ^-, XjX2 = 2. .
A = 701, X] + x2 = ^, XịX2 =-7.
A = -31 <0. Phương trình vô nghiệm.
2 1
A = 0, Xj + x2 = -—, X]X2 = -Ỵ.
25
26. Đáp sô': a) X1 = 1, x2 = —.
c) Xj = -1, x2 = 50.
b) Xj = 1, x2 = -
d)xj = —l,x2 =
507
7
4300
4321
27. Giải, a) Vì X] + x2 = 7 = 3 + 4, XjX2 = 12 = 3.4 nên Xj = 3, x2 = b) Vì Xj + x2 = -7 = -3 - 4 và XịX2 = 12 = (-3).(-4) nên Xj = -
_ 3 4 '
(x+ l)(4x + 3)
4.
•3, x2 = -4.
Trả lời: a) m < 1, X) + x2 = 2, X!X2 = m.
, ,	1 '	„ X	,x	2
m < -ý, *1 + x2 = -2 (m - 1), X]X2 = m .
Đáp sô': a) u = 11, V = 21 hoặc u = 21, V = 11.
u = -15, V = 7 hoặc u = 7, V = -15.
Không có số u, V nào.
Trả lời: a) X] + x2 = “Ỷ, XịX2 = “ .
b)Xj +x2= -
-r I O'
Phương trình vô nghiệm. d) Xị + x2 = —, X]X2 =
1
159 ■
31. Đáp sô': a) X] = 1, x2 =
15
b)Xj = —l,x2 =
Xị = 1, x2 = —7 — 4V3 .	d)Xj = l,x2 =
Đáp số: a) u = V = 21.
u = -50, V = 8 hoặc u = 8, V = -50.
u = 8, V = 3 hoặc u = -3, V = -8.
Trả lời : a) 2x2 - 5x + 3 = (x - l)(2x - 3).
3? + Sx + 2 = 3fx-^rfifx-^!»i
X 3 A 3	7
= í3x+4-7ĨB)fx+ÌlA -
A 3	7
D. Bài tập luyện thêm
Giải các phương trình :
214x2 -527x +313 = 0;
555x2 + 237x -318 = 0;
(1 +73)x2 + 2(1 - 2 V3 )x + 3 V3 - 3 = 0 ;
5V2x2 + 3(l - 2a/2)x + 3- I1V2 =0.
Tim hai số u và V trong mỗi trường hợp sau :
u + V = 2, uv = -1 ;
u + V = 7 - V2 , uv = 12 - 3 5/2 .
Cho phương trình 2mx2 - 4(m - 2)x + m + 1 = 0.
Tim giá trị của m đê’ phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép ấy.
Tim giá trị của m để phương trình có một nghiệm là Xj = -2. Không giải phương trình, hãy tìm nghiệm còn lại.
Cho phương trình (m + 3)x2 - 2(m + l)x - m - 2 = 0.
Tim giá trị của m để phương trình có hai nghiệìn phân biệt và tổng của chúng bằng 6. Khi đó hãy tính tích hai nghiệm của phương trình.
Giả sử Xị, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Hãy tính X]2 + x22 theo m.
> Hướng dẫn - Đáp sô'
Đáp sô : a) X, = ỉ, Xọ = —— .	b) X, = -1, Xọ - —— .
Giải, a) m * 0, A1 = 4(m2 - 4m + 4) - 2m(m + 1) - 4m2 - 16m + 16 - 2m2 - 2m
= 2m2 - 18m + 16 = 2(m2 - 9m + 8).
A’ = 0 khi m2 - 9m + 8 = 0 hay khi m = 1 hoặc m - 8.
Khi m = 1 thì nghiệm kép là X] ra $2 =	—— = -1.
4m
Khi m = 8 thì nghiệm kép là X, - x2 = —-—— = 	= —.
4m	8	4
b) Phương trình có một nghiệm là X] = -2 khi 2m.(-2)2 - 4(m - 2).(-2) + m + 1 = 0 hay 8m + 8m-16 + m+ l= 0 hay 17m = 15. Do đó m = —.
Khi đó theo hệ thức Vi-ét, nghiệm còn lại là :
4(m-2) _ 2m-4 + 2m . 4 Xo - —	 + 2 = —	= 4 —-
2m	m	m
: 4_A-4_ỄỈ-__§_
15 ~	15 -	15 '
17
Giải, a) Trước hết m + 3	0 và phương trình phái có nghiệm.
Xét A' - (m + 1Ỷ + (m + 3)(m + 2) = m2 + 2m + 1 + m2 + 5m + 6 = 2m2 + 7m + 7
= 2|m + —I + Ị>0Vm.
47	8
Phương trình đã cho có hai nghiệm Xj, Xọ.
X] + x2 = 2(m	= 6 khi 2m + 2 - 6m + 18 hay 4m = - 16 hay khi m = -4.
m + 3
m 2
Khi đó XjX2 = —-—— , với m = -4 thì XịX2 = -2. m + 3
Ta có X|" + x2 = (xJ + x2)~ - 2XịXọ.
Theo hệ thức Vi-ét,
Xf + x2 =
2	2 i2(m + l)V „-m-2	6m2 + 18m + 16
(m + 3)'