Giải toán 9 Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

§2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. Tóm tắt kiến thức
Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Với hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by - c và a'x + b’y = c' ta có một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
(ỉ)
ax + by = (• a' X + b' y = c'.
Mỗi nghiệm chung của hai phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ. Nếu hai phương trình trong hệ không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm. Giải hệ phương trình (I) là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Tập nghiệm của mỗi phương trình trong hệ (Ị) được biểu diễn bởi một đường thẳng trong mặt phang toạ độ. Do dó, tiịên cùng một mặt phang toạ độ, mỗi nghiệm của hệ (1) được biểu diên bởi một điểm chung của hai đường thẳng (d) : ax + by = c và (d’) : a'x + b'y = c'.
Vì vậy :
• Nêu (d) cắt (d') thì hệ cố một nghiệm duy nhất và rập nghiệm của hệ dược biểu diễn bởi giao điểm của (d) và (d').
Nếu (d) // (d') thì hệ vô nghiệm và tập nghiệm là tập l ỗng.
Nếu (d) trùng với (d') thì hệ có vô số nghiệm và tập nghiệm được hiểu diễn hởi (d).
Hai hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình được gọi lủ tương đương nếu chúng có củng một tập nghiệm.
B. Ví dụ
Ví dụ 1. Xét xem mỗi cặp số (-2 ; 7), (3 ; -5) có phải là nghiệm của hệ phương trình
2x - 5y = 31 4x + 3y = -3
hay không.
Phân tích. Vì một nghiệm của hệ đã cho phải là nghiệm chung của cả hai phương trình trong hệ nên ta phải kiểm tra xem cặp số (-2 ; 7) có phải là một nghiệm của mỗi phương trình trong hệ hay không.
Giải. • Thay X = -2, y = 7 vào phương trình đầu ta được :
2.(-2) - 5.7 = -4 - 35 = -39 * 31.
Điều này chứng tỏ (-2 ; 7) không phải là một nghiệm của phương trình đầu nên nó không phải là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
• Thay X = 3, y = -5 vào phương trình đầu, ta được :
- 5.(-5) = 6 + 25 = 31.
Thay X = 3, y = -5 vào phương trình thứ hai, ta được :
+ 3.(-5) = 12- 15 =-3.
❖ Các kết quả vừa được chứng tỏ rằng cặp số (3 ; -5) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ví dụ 2. Xét xem mỗi cặp số (4 ; -3), (-2 ; —18) có phải là những nghiệm của hệ phương trình
5x - 2y = 26 \-10x + 4y = -52
hay không. Hỏi hệ phương trình này có bao nhiêu nghiệm ?
Giải. • Thay X = 4, y = -3 vào mỗi phương trình, ta được :
- 2.(-3) = 20 + 6 = 26 ;
-10.4 + 4.(-3) = -40 - 12 = -52.
Điều này chứng tỏ cặp số (4 ; -3) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
• Thay X = -2 ; y = -18 vào mỗi phương trình ta được :
5.(-2) - 2.(-18) = -10 + 36 = 26 ;
-10.(-2) + 4.(-l8) = 20 - 72 = -52.
Điều này chứng tỏ cặp số (-2 ; -18) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. Vì hai cặp số (4 ; -3) và (-2 ; -18) là hai nghiệm của mỗi phương trình và tập nghiệm của mỗi phương trình được biểu diễn bởi một đường thẳng nên mỗi đường thẳng này đều đi qua hai điểm A(4 ; -3) và B(-2 ; -18). Như vậy hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trùng nhau.
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm.
Ví dụ 3. Minh hoạ hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau :
a)
2x - 5y = -4 3x + 2y = 13 ’
b)
2x - 3y = 6 4x - 6y = 12’
c)
2x - 3y = 6 -4x + 6y = 10.
Phán tích. Để minh hoạ hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình, ta phải
vẽ hai đường thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi hệ.
Giải, a) (h.15)
Vẽ đường thằng (d) : 2x - 5y = -4.
Cho y = 2, từ 2x - 5.2 = -4 suy ra 2x = 6.
Do đó X = 3.
Đường thằng (d) đi qua điểm A(3 ; 2).
Cho y = 0, từ 2x - 5.0 = -4 suy ra 2x = -4.
Do đó X = -2. '
Đường thẳng (d) đi qua điểm B(-2 ; 0).
Vẽ đường thẳng (d') : 3x + 2y = 13.
Cho X = 1, từ 3.1 + 2y = 13 suy ra y = 5.
Đường thẳng (d') đi qua điểm A'(l ; 5).
Cho X = 3, từ 3.3 + 2y = 13 suy ra 2y = 4.
Do đó y = 2.
Đường thẳng (d') đi qua điểm A(3 ; 2).
Tập nghiệm của hệ được biểu diễn bởi giao
điểm A(3 ; 2).
b) (h.16)
Vẽ đường thẳng (d): 2x - 3y = 6.
Cho X = 0, từ 2.0 - 3y = 6 suy ra y = -2.
Cho y = 0, từ 2x - 3.0 = 6 suy ra X = 3.
9x + 5y = 7
[8x - 3y = 2 ’
5x - 7y = 6 \-10x + 14y = 2;
Phán tích. Muốn biết số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta chỉ cần biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong hệ.
a)
b)
c)
llx + 13y = 0 2x + 0y = 6.
Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(0 ; -2) và B(3 ; 0).
Vẽ đường thẳng (d') : 4x - 6y = 12.
Vì phương trình 4x - 6y - 12 tương đương với phương trình 2x - 3y = 6 nên (d') trùng với (d).
Tập nghiệm của hệ được biểu diễn bởi đường thẳng (d). c) (h.17)
Vẽ đường thẳng (d): 2x - 3y = 6 (theo câu b).
Vẽ đường thẳng (d') : -4x + 6y - 10.
Cho X = -1, từ -4,(-1) + 6y = 10 suy ra y = 1.
Cho X - 2, từ -4.2 + 6y = 10 suy ra y = 3.
Đường thằng (d') đi qua hai điểm
A'(-l ; l)vàB'(2; 3).
Tập nghiệm của hệ này là tập rỗng.
Ví dụ 4. Không vẽ hình hãy nhận xét số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau
9.7 y = -—X + —
> Giải, a) Hệ đã cho tương đương với hộ
5
y 7*
Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất.
Hệ đã cho tương đương với hệ
Vì y = y và * — nên hai đường thăng y = —X và y = yX + ỹ song song. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Vì đường thẳng 1 lx - 13y = 0 cắt hai trục toạ độ và đường thẳng 2x + Oy = 6 song song với trục Oy nên hai đường thẳng này cắt nhau.
Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
4.
5.
Trả lời: a) Một nghiệm vì hai đường thẳng y = 3 - 2x và y = 3x - 1 cắt nhau.
Vô nghiệm vì hai đường thẳng y = -yX + 3 và y = “X + 1 song song.
Một nghiệm vì hai đường thẳng 2y = -3x và 3y = 2x chính là hai đường
3	2
thẳng y = -yxvày = Ỷ X và chúng cắt nhau.
Vô số nghiệm vì hai đường thẳng 3x - y = 3 và X _~y - 1 chính là cùng một đường thẳng y = 3x - 3.
Hướng dẫn : Vẽ hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ.
6.
Trả lời : Bạn Nga nói đúng. Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng vô nghiệm thì tập nghiệm của chúng đều là tập rỗng ; nghĩa là chúng có cùng tập nghiệm. Do đó chúng tương đương.
Bạn Phương nói sai. Ví dụ hai hệ phương trình :
x-y = 2 -2x + 2y = -4
và (II) ■
X + y = 1 2x + 2y =
là hai hệ có vò số nghiệm ; nhưng tập nghiệm của hệ (I) được biểu diễn bởi đường thẳng y = X - 2 còn tập nghiệm của hệ (II) được biểu diễn bởi đường thẳng y = -X + 1. Như vậy hai hệ này có tập nghiệm khác nhau.
7.
Trả lời : a) Nghiệm tổng quát của phương trình 2x + y = 4 là fx e R
X G R
y = -2x + 4.
8.
Giải
a) (h.21) Vì đường thẳng X = 2 song song với trục Oy, đường thẳng 2x - y = 3 cắt hai trục toạ độ nên hai đường thẳng này cắt nhau. Do đó hệ có nghiệm duy nhất.
Nghiệm của hệ-là A(2 ; 1).
b) (h.22) Hệ có nghiệm duy nhất vì đường thẳng X + 3y = 2 cắt hai trục toạ độ, đường thẳng 2y - 4 song song với trục Ox.
Nghiệm của hệ là B(-4 ; 2).
Nghiệm tổng quát của phương trình 3x' + 2y = 5 là b) (h.20). Nghiệm chung của chúng là A(3 ; -2).
Trả lời : a) Vô nghiệm. Đường thẳng 3x + 3y = 2 chính là đường thẳng
2	, s ,3	„	. '	,3
3	'
đường thẳng này song song với nhau.
y = -X +— ; đường thăng X + y - 2 chính là đường thăng y = -X + 2 mà hai
3	1
b) Vô nghiệm. Đường thắng 3x - 2y = 1 chính là đường thắng y = ^-x	;
3	„
đường thẳng -6x + 4y = 0 chính là đường thẳng y =-|-x. Hai đường thẳng này song song với nhau.
Trả lời : a) Vô số nghiệm. Hai đường thẳng 4x - 4y = 2 và -2x + 2y - -1 đều
,	3	1
là đường thắng y = X “.
1 2
b) Vô số nghiệm. Hai đường thẳng -|x - y = ỹ và X - 3y - 2 đều là đường thẳng y=jx--.
Trử lời. Nếu hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt thì hai nghiệm ấy đều là nghiệm của mỗi phương trình trong hệ. Do đó hai điểm biểu diễn bởi hai nghiệm ấy đều thuộc đường thẳng biểu diễn mỗi tập nghiệm. Như vậy hai đường thẳng này có hai điểm chung. Suy ra chúng trùng nhau. Vậy hệ có vô số nghiệm.
D. Bài tập luyện thêm
ax + 5y = 7 3x - by = 8
1. Tìm a và b để hệ phương trình
có một nghiệm là (-1 ; 1).
Với giá trị vừa tìm được của a và b thì hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm ?
Không vẽ hình hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau :
4x + 5y = 20	[2x-3y = l
;	b)	:
2x - 3y = 6	[-6x + 9y = -3
-12x + 15y = 3	JX [0x + 5y = 9
a) <
c)
[4x - 5y = 1
Tim a và b để hệ phương trình
dX
llx-3y = 9. ax - 4y = 7
3x + by = -21
có vô số nghiệm.
4. Tim a và c để hệ phương trình
ax + 3y = 8 -2x + 5y = c
vô nghiệm.
ax + by = 6
5*. Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình
nhất ?
ax - 4y = 10
có nghiệm duy
6. Tim giá trị của a và b để hệ phương trình
phương trình •(
4x-7y = 1
tương đương với hệ
2x + by = 2
2x-5y = -l 3x + Oy = 6.
> Hướng dẫn - Đáp số
1. Giải. Để (-1 ; 1) là nghiệm của hệ phương trình thì
a.(-l) + 5.1 = 7
3.(-l).~ b.l = 8
Vậy hệ đã cho là
hay
-a = 2
hay
a = -2 b = -íl.
—b = 11 2x + 5y = 7 3x + lly=-8.
Vì các đường thẳng -2x + 5y = 7 và 3x + 1 ly = 8 lần lượt là các đường thẳng
- 2„ , 7 ..X	_	3 ... 8 u 2 .
y - — X + — và y = X + —, do — *
5	5	11	11
chỉ có một nghiệm.
Trả lời: a) Có một nghiệm.
c) Vô nghiệm.
Giải. Muốn cho hệ phương trình
11
nên chúng cắt nhau. Do đó hệ
b) Vô số nghiệm, d) Có một nghiệm, ax - 4y = 7
có vô số nghiệm thì tập nghiệm
3x + by = -21
của hai phương trình trong hệ phải được biểu diễn bởi cùng một đường thẳng.
a 7
Đường thẳng ax - 4y = 7 chính là đường thẳng (d) : y =4X - 4 .
4	4
Để đường thẳng 3x + by = -21 cũng là đường thẳng (d) thì b * 0 và (d):y bx b'
_ a 3 . 7	21 _	,	s
Do đó —7 = - —và— - —. Suy ra b = 12 và a = -1.
4 b 4 b
ax + 3y = 8
40
4. Giải. Muốn cho hệ phương trình
vô nghiệm thì hai đường thẳng
-2x + 5y = c
biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau.
.	„ n	* '	, z	a 8
Đường thăng ax + 3y = 8 chính là đường tháng (d): y = X + “ ■
v ,	 ,	2 c
Đường thăng -2x + 5y = c chính là đường thăng (d'):y =—X + —.
Đê’ (d) // (d') thì -4 = 4 và 4 4 hay a = -Ệvà c *
3	5	5	3	5	3
Vậy hệ vô nghiệm khi a = -|-và c .
5*. Muốn cho hệ phương trình
ax + by = 6 z , .8	,	., , . , .
có nghiệm duy nhất thì hai đường
4x - 7y = 1
thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ cắt nhau.
. z „	,	, z 1X 4	1 TZ .	,
Đường thăng 4x - 7y = 1 chính là đường thăng (d) : y =yx • Nó căt cá hai trục.
Do đó nếu a = 0 thì hệ có nghiệm duy nhất với mọi b 0.
Tương tự, nếu b - 0 thì hệ có nghiệm duy nhất với mọi a * 0.
Nếu a 0 và b 0 thì đường thẳng ax + by = 6 chính là đường thẳng
(d'): y = --^x + £. b	b
	 .	1S	a	4,	4,
Đê (d) và (d') cãt nhau thì * — hay a * b.
b	7	7
. , ,	4	„ .. ..	„	„,, .	„	.
Đê’ ý rằng nếu a -ybthi a 0 khi b = 0 và b 0 khi a = 0. Vì thế ta có kêt luận chung :
	-	,	4,
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi a -—b.
6. Giải. Vì đường thẳng 3x + Oy = 6 chính là đường thẳng X + Oỵ = 2 ; nó sọng . song với Oy và cắt Ox tại điểm Q(2 ; 0). Do đó nó cũng căt đường thăng 2x - 5y = -1 tại điểm M(2 ; y0). Khi đó 2.2 - 5y0 = -1 hay 5y0 = 5.
Suy ra y0 = 1.
Vì toạ độ giao điểm M(2 ; 1) của hai đường thẳng là nghiệm của hộ phương
trình
2x - 5y = -1 _	'	_
■ nên hệ này có nghiệm duy nhất là (2 ; 1).
3x + Oy = 6
Để hệ
ax - 4y = 10	Í2x - 5y = -1
tương đương với hệ phương trình <	thì (2 ; 1)
2x + by = 2	[3x + 0y = 6
cũng là nghiệm duy nhất của hệ
Muôrì vậy ta phải có
a.2-4.1 = 10
. Suy ra
2.2 + b.l = 2
ax - 4y - 10 2x + by = 2.
a = 7 b = -2.
Vậy hai hệ đã cho tương đương khi a = 7, b = -2.