Giải toán 9 Bài 4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

§4. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Tóm tắt kiến thức
~ Ax. z . .	X I I « I . 2	. I .	I X I 2
Dỡ/ với phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, ta gọi biếu thức b - 4ac là biệt thức của nó và kí hiệu là A ; tức là A = b - 4ac.
Nếu A> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
-b + y/Ã. -b-y/Ã
Lưu ý. a) Nêu phương trình ax + bx + c = 0 có a và c trái	dấu, tức là ac < 0 thì
A = b - 4ac > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân	biệt.
Đối với các phương trình bậc hai dạng ax2 + bx = 0 hoặc ax2 + c = 0, ta vẫn có thê dùng biệt thức A để giải. Tuy nhiên, cách giải đã nêu trong bài trước thuận tiện hơn.
Ví dụ
Ví dụ 1. Xác định các hệ số, tính biệt thức Á của các phương trình sau, rồi cho biết mỗi phương trình đó có nghiệm hay không :
a) 5x2 - 8x + 2 = 0 ; b) -2x2 + 3x + 5 = 0 ;	c)	2x2	-	X	+	1	=	0 ;
6x2 + 5 = 0;	e)	7x2 + 3x = 0.
> Giải, a) Phương trình có các hệ số là : a = 5, b = -8, c = 2.
A = (-8)2 - 4.5.2 = 64 - 40 = 24 > 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình có các hệ số là : a = -2, b = 3, c = 5.
Á = 32 - 4.(-2).5 = 9 + 40 = 49 > 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lưu ý. Ta có thể khẳng định ngay rằng phương trình -2x2 + 3x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt vì a = -2 và c = 5 trái dấu.
Phương trình có các hệ số là : a = 2, b = -1, c = 1.
A = (-1)2 - 4.2.1 = 1 -8 = -7<0.
Phương trình vô nghiệm.
Phương trình có các hệ số là : a = 6, b = 0, c = 5.
A = o2 - 4.6.5 =-120 < 0.
Phương trình vô nghiệm.
Phương trình có các hệ số là : a = 7, b = 3, c = 0.
A = 32 - 4.7.0 = 9 > 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2. Dùng công thức nghiệm, giải các phương trình sau : , a) X2 - 8x + 15 = 0 ;	b) 2x2 + 5x - 3 = 0 ;
36x2-12x+1 =0;	d) 5x2 + 2x + 1 = 0.
> Giải, a) A = (-8)2 - 4.1.15 = 64 - 60 = 4.
VÃ = 74 = 2.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
-(-8)-2
2.1
5,x2
X, =
2.1
-(-8)+ 2
A = 52 - 4.2.(-3) = 49.
VÃ = 749 = 7.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
-5 + 7	1	-5-7	.
XI = ———- = —, x2= ——— = -.
2.2	2 2.2
A = (12)2-4.36.1 = 144- 144 = 0.
Phương trình có nghiệm kép : Xj = x2 =	( 3
A = 22-4.5.1 = 4 -20 =-16 <0.
Phương trình vô nghiệm.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Giải.
a = 7, b = -2, c = 3.
A = (-2)2 - 4.7.3 = 4 - 84 = -80 < 0. Phương trình vô nghiệm.
a = 5, b = 2 Vĩõ , c = 2.
A = (2 ựĩõ )2 - 4.5.2 = 40 - 40 = 0. Phương trình có nghiệm kép.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt,
a = 1,7, b =-1,2, C =-2,1.
A= 15,72 >0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Giải.
a) A = (-7) - 4.2.3 = 49 - 24 = 25.
X, =
VÃ = 5. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: -(-7)+ 5	,	_ -(-7)-5	1 .
5 Xọ ~~‘	5
2.2 2.2 2
Trả lời : Vô nghiệm ;
Trả lời : Xj = y, x2 = -1.
6
Trả lời : X, =	, Xọ = -1.
3
Giải. A = (-8)2 - 4.1.16 = 64 - 64 = 0.
-8
Phương trình có nghiệm kép :
-o J
X, = Xọ - — = 4. 2.1
Trả lời-: Phương trình có nghiệm kép : X] = x2 = -
D. Bài tập luyện thêm
Giải các phương trình :
9 5	2	„
X -yX -4 = 0;
3	3
6x2 + 0,8x + 0,02 = 0.
Giải các phương trình :
2 Vix2 - 5Võx + 9V2 = 0
b)-|x2 + 7x + — = 0 ; 2	3
7x2 -3 72x -1 = 3x2 + 74x .
Cho phương trình (m - 2)x2 + (2m - l)x + m + 2 = 0. Tim giá trị của m để phương trình :
Có hai nghiệm phân biệt.
Có nghiệm kép.
Vô nghiệm.
>
1.
2.
3.
Hướng dẫn - Đáp sô
Đáp sô': a) Xị = 2, x2 = -7- ;
b) Xj
-7-375
c)x' =_Io’X2 = ~
_Ị_
30
Giải, a) A = (-570 )2 - 4.272 .972 = 150-144 = 6. TÃ = 76.
-(-576)+ 76	373 „ _ -(-576)-76 _ /7
X| =	2.2J2	-= 2	2.242	= 7
b) 7x2-3T2x-1 = 3x2 +72x « 4x2 - 472x - 1 = 0.
A = (-472 )2 - 4.4.(-l) = 32 + 16 = 48.
TÃ = 748 = 473 .
-(-472)+ 473 72+73	-(-472)-473 72-73
1	2.4	2	2.4	2
Phân tích. Muốn cho một phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép thì trước hết a + 0. Sau đó ta cần xét A.
> Giải. Trước hết m - 2 # 0 hay m*2.
A = (2m - l)2 - 4(m - 2)(m + 2) = 4m2 - 4m + 1 - 4m2 + 16 = -4m + 17.
17 x
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi -4m + 17 > 0 hay khi m < — và m 2.
17
Phương trình có nghiệm kép khi -4m +17 = 0 hay khi m = -—.
4
17
Phương trình vô nghiệm khi -4m + 17 —.