Giải toán 9 Bài 10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
§10. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN A. Tóm tắt kiến thức 1. Công thức tính diện tích hình tròn 5 = 7T/C (R là bán kính) (lỉ.128). r7x 2. Cách tính diện tích hình quạt tròn Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n° được tính theo công thức 1 O R yA s = ĩẸ-ỉl. hay ~ (l là đô dài cung n°) (h.128). 360 - 2 Hình 128 B. Ví dụ Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm M của OB vẽ dây CD ± AB. Biết CD = 2V3 cm. Hãy tính : Diện tích hình tròn (O); Diện tích hình quạt tròn OCBDO ; Diện tích hình giới hạn bởi cung nhỏ CD và dây CD (hình này gọi là hình viên phân). Giải (h. 129) B Ta có OB ± CD suy ra MC = MD = a/Ĩ cm. Xét AOMC vuông tại M. Ta đặt OM = X thì oc = 2x. Ta có (2x)2 - X2 = (5/3)~ => X - 1. Do đó oc = 2cm. Diện tích hình tròn (O) là : s = 7ĩR2 = 71.22 = 471 (cm2). Ta có : tgO, = ^7 = — = 73^Ôi- 60°. 1 OM 1 Do đó COD = 120°, sdCBD = 120°. Diện tích hình quạt tròn OCBDO là : 7iR2n 7I.22.120 471 , 2, S, = ——— = ■ •...— = — (cm ). 1 360 360 3 Diện tích hình viên phân CBDC bằng diện tích hình quạt tròn OCBDO trừ đi diện tích tam giác OCD. Diện tích AOCD là : So = ị CD.OM = ị.2V3.1 = 73 (cm2). 2 2 Diện tích hình viên phân CBDC là : s = Sị - S2 = y - 73 « 2,45 (cm2). Nhận xét: Ở câu c) ta đã dùng tính chất sau : Nếu hình ó^được chia thành hai hình o/ố1 và G#2 không có điểm trong chung thì diện tích hình bằng diện tích ] cộng với diện tích 0^2» suy ra diện tích bằng diện tích trừ đi diện tích o#2- c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Hướng dãn : Tính bán kính đường tròn nội tiếp được r = 2cm. Tính diện tích hình tròn được s = 471 cm2. Hướng dẫn : Tính bán kính của hình tròn R = — m. 7X < , , „ 36 2 Tính diện tích hình tròn s = —- m . 71 Đáp số: 3,671 cm2. Giải Diện tích cỏ mà mỗi con dê có thể ăn đươc là diện tích của — hình tròn có 4 bán kính là độ dài của dây thừng. Tổng diện tích cỏ mà hai con dê có thể ãn theo cách buộc thứ nhất là : Sj = i 7t(202 + 202) = 200ĩt (m2). Tổng diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn theo cách buộc thứ hai là : s>2 = 7I(3O2 + 102) = 250ĩt (m2). Vậy với cách buộc thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn. Giải Bán kính hình tròn : R 2R 3R kR Diện tích hình tròn : 7ĩR2 4tcR2 9tiR2 k27ĩR2 Vậy : Nếu bán kính tăng gấp đôi thì diện tích tăng gấp 4 lần. Nếu bán kính tăng gấp ba thì diện tích tăng gấp 9 lần. Nếu bán kính tăng gấp k lần thì diện tích tăng gấp k lân. Nhận xét: Diện tích hình tròn tỉ lệ thuận với bình phương bán kính của nó. Đáp sô' ở dòng 1 : 2,lcm ; 13,8cm2 ; l,83cm2. Ở dòng 2 : 15,7cm ; 19,6cm2 ; 229,6°. N A Ở dòng 3 : 3,5cm ; 22cm ; 101°. Giải (h. 130) Cách vẽ: Vẽ nửa đường tròn (P) đường kính HI = 10cm. Trên đường kính HI lấy hai điểm o và B sao cho HO = IB = 2cm. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính HO và BI nằm cùng phía với nửa đường tròn (P). Hình 130 Vẽ nửa đường tròn đường kính OB nằm khác phía với nửa đường tròn (P). Qua p vẽ đoạn thẳng vuông góc với HI cắt nửa đường tròn (P) tại N và cắt nửa đường tròn đường kính OB tại A. Diện tích hình HOABINH là : S| = -ị- 71.52 + 4 71.32 - 7I.12 = IÓ7Ĩ (cm2). 1 2 2 Diện tích hình tròn đường kính NA là : S2 = 7ĩ42 = 1671 (cm2). Vậy Sị = S2. 84. Giải (h. 131) Cách vẽ: Vẽ tam giác đều ABC cạnh lcm. Vẽ cung CD có tâm A, bán kính lcm trong đó D thuộc tia đối của tia AB. Vẽ cung DE có tâm B, bán kính 2cm trong đó E thuộc tia đối của tia BC. Vẽ cung EF có tâm c, bán kính 3cm trong đó F thuộc tia đối của tia CA. Diện tích miền gạch sọc là tổng diện tích của ba hình quạt, bán kính lần lượt là lcm, 2cm, 3cm, cung 120°. Diện tích đó là : s = ^-7ĩ(l2 + 22 + 32) = ^7t(cm2). 3 3 Hình 132 85. Giải, (h.132) Tam giác AOB là tam giác đều cạnh 5,1 cm. Diện tích hình quạt OABO là : _ 71.5, l2.60 _ ti.(5,1)2 1 - 360 6 Diện tích tam giác AOB là : e _ (5,1)2.V3 Diện tích hình viên phân là : 2,35 (cm2). S = S,-S2= (5,1)2. £6. Giải (h. 133) Diện tích hình vành khăn là 4 S=k(r?-RỈ). Đáp số: 155,lcm2. 87. Giải (h. 134) Gọi o là tâm đường tròn đường kính BC, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Các tam giác BDO, CEO là những tam giác đều canh — . Diện tích hình quạt OBmDO là : 2 Hình 133 -60. 360 Diện tích tam giác BDO là : s,= 7ia ~ÕÃ S2 = ÍĨÀ 4 16 Diện tích hình viên phân BmDB là : S3 = S1-S2 = 2na2 -3a2V3 48 Diện tích hai hình viên phân là : a2 r- s= ^-(271-3V3) (đvdt). 24 D. Bài tập luyện thêm Hình 135 là sơ đồ của một mặt bàn ăn. Tính diện tích của nó. . Diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông là lOOcm2. Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp 160 cm 80 cm hình vuông. Hình 135 Từ một tờ giấy hình vuông người ta cắt ra một hình tròn có diện tích lớn nhất,- Biết diện tích phần bị cắt bỏ đi là 86cm2. Tính diện tích hình tròn. > Hướng dẫn - Đáp sô' Tổng diện tích hai nửa hình tròn ở hai đầu bàn ãn là Sj = TiR2 = 71.402 = 160071 (cm2). Diện tích phần ở giữa là : S2 = 80.80 = 6400 (cm2). Diện tích mặt bàn ăn là : s = 1600(71 + 4)« 11424(cm2)« l,14m2. (h.136). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông. Ta có R = r-s/2 . Diện tích hình tròn nội tiếp là : Sị = 7ir2 = 100 (cm2). Diện tích hình tròn ngoại tiếp là : S2 = 7ĩR2 = 7t.(rV2)~ = 27tr2 = 2.100 = 200 (cm2). (h. 137). Gọi cạnh hình vuông là 2a. Diện tích hình vuông là 4a . Diện tích hình tròn là 7ia . Ta có : 4a2 - 7Ta2 = 86 « a2(4 - 71) = 86 2 86 „ _ 2, « a = « 100 (cm2). 4-71 Diện tích hình tròn là s = 7ia2 = 71.100 = IOOtc (cm2).