Giải toán 9 Bài 7. Phương trình quy về phương trình bậc hai

§7. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. Tóm tắt kiên thức
Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có clạng
ax4 + bx2 + c = 0 (a ^0).	(ỉ)
Cách giải. Đặt t = -V2, t >0, ta dược phương trình bậc hai đối với ẩn t :
at2 + bt + c = 0.	(2)
Giải phương trình (2).
Thay mỗi giá trị không âm tìm dược của t vào dẳng thức x~ = t, ta tìm dược -V - ±yft .
Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta làm như sau :
Bước 1. Tìm điều kiện xác đinh của phương trình ;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vê'rồi khử mẫu ;
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ;
Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác đinh, các giá tri thoả mãn điều kiện xúc đinh là nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình tích
Aịx).B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
Đặt ẩn phụ
Ta có thể giải phương trình A[f(x)]2 + Bf(x) + c = 0 bằng cách đặt ẩn phụ t =f(x).
R, Ví dụ
b) 3x4+ 10x2-8 = 0; d)7x4 - 28x2 = 0;
Ví dụ 1. Giải phương trình trùng phương :
X4 - 8x2 + 7 = 0>
2x4 + 7x2 + 5 = 0;
5x4- 14x2 + 4r=0.
> Giải, a) Đặt t = X2, t > 0, ta được : t2 - 8t + 7 = 0.
Vì 1 - 8 + 7 = 0 nên phương trình này có hai nghiệm : tj = 1, t2 = 7.
Với t = 1, ta có X2 = 1. Do đó X] = 1 ; x2 = -1.
Với t = 7, ta có X2 = 7. Do đó x3 = v?, x4 = - v? .
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm : Xj = 1 ; x2 = -1, x3 = ựy , x4 = -y/ĩ .
Đặt t = X2, t > 0, ta được : 3t2 + lOt - 8 = 0.
A'= 25 - 3.(-8) = 49.
Vì t > 0 nên t2 = -4 bị loại.
2 2 2 Với t = -^, ta có X = — .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là :
Í2 /2	_ Vó _ Vó
X1 = -ự3 ’ x2=	3 hayxi= 3 ’x2 = - 3 •
Đặt t = X2, t > 0, ta được : 2t2 + 7t + 5 = 0.
Vì2-7 + 5= 0 nên phương trình này có hai nghiệm là :
t1 = — 1 (loại), t2 = --1 (loại).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Đặt t - X2, t > 0, ta được : 7t2 - 28t = 0.
Phương trình này có hai nghiệm là tj = 0, t2 = 4.
Với t = 0, ta có X2 = 0. Do đó X = 0.
Với t = 4, ta có X2 - 4. Do đó X = 2 hoặc X = -2.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là :
Xị = 0, x2 = 2, x3 = -2.
Đặt t = X , t > 0, ta được : 5t2 - 14t + -y-= 0 hay 25t - 70t + 49 = 0.
A'= 1225 - 1225 = 0.
35 7
—2—- = ——— —72— => 4x - 6 = x(x + 1) - 2x(x - 1)
4x-6 = x2 + x- 2x 4- 2x X2 4- X - 6 = 0. A = 1 +4.6 = 25.
2
2
Vi X] = 2, x2 = -3 đều thoả mãn điểu kiện của ẩn nên chúng là hai nghiệm của phương trình,
3x 17x - 15 ' 2x
Điều kiện : X ± 3.
—4	y—— = ——- => 3x(x - 3) 4- 17x - 15 = 2x(x + 3)
X + 3 X — 9 X 3
 3x2 - 9x 4- 17x - 15 = 2x2 4- 6x X2 4- 2x - 15 = 0. A'= 1 + 15 = 16.
Xj = -l + 4 = 3, x2 = -l - 4 =-5.
Vì X] = 3 không thoả mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm là x2 = -5.
Điều kiện : X 2, X # 3.
. 2x X-2	3x-10	„ ,	z ~xz	o
— - - - -—y = —y—— 	=> 2x(x - 3) - (x - 2)(x - 2) = 3x - 10
x-2	x-3 X2 - 5x + 6
 2x2 - 6x - X2 4- 4x - 4 = 3x - 10 X2 - 5x 4- 6 = 0.
A = 25 - 4.6 = 1
Cả hai giá trị tìm được của X đều không thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình :
(2x2 + 3x + l)2 = (x2 + 2x 4- l)2 ;
X4 - 5x3 + 20x - 16 = 0;
(2x2 — X 4- 1)2-4x2 + 2x- 1 = 0;
X4 + 2x3 4- 5x2 4- 4x - 5 = 0.
❖ Phán tích, a) Nếu chuyển vế ta được hiệu của hai bình phương. Do đó có thể đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Nhận thấy có thể phân tích vế trái thành nhân tử bằng cách nhóm nhiều hạng tử.
Nhận thấy -4x2 + 2x = -2(2x2 - x). Do đó có thể viết
-4x2 + 2x = -2(2x2 - X + 1) + 2 và có thể đặt ẩn phụ t = 2x2 - X + 1.
Nhận thấy X4 + 2x3 + X2 = (x2 + x)2. Cần xét xem có thể đặt ẩn phụ t = X2 + X hay không.
Giải, a) (2x2 + 3x + l)2 = (x2 + 2x + l)2 « (2x2 + 3x + l)2 - (x2 + 2x + l)2 = 0 (2x2 + 3x + 1 + X2 + 2x + l)(2x2 + 3x + 1 - X2 - 2x - 1) - 0 (3x2 + 5x + 2)(x2 + x) = 0 3x2 + 5x + 2 = 0 hoặc X2 + X = 0.
Giải phương trình 3x + 5x + 2 = 0.
	 1 2
Vì3-5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là X = -1, X = --J .
Giải phương trình X + X = 0.
Đưa về phương trình tích x(x + 1) = 0.
Phương trình có hai nghiệm : X = 0, X = -1.
2
Vậy phương trình có ba nghiệm : Xị= -1, x2 = 0, x3 = - — .
X4 - 5x3 + 20x - 16 = 0 X4 - 16 - (5x3 - 20x) = 0
o (x2 - 4)(x2 + 4) - 5x(x2 - 4) = 0 (x2 - 4)(x2 + 4 - 5x) = 0
 (x - 2)(x + 2)(x2 -5x + 4) = 0x = 2 hoặc X = -2 hoặc X2 - 5x + 4 = 0. Phương trình X2 - 5x + 4 = 0 có hai nghiệm là X = 1 và X = 4 vì 1 -5+4 = 0. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm : X = 2, X = -2, X = 1, X = 4.
Phương trình (2x2 - X + 1 )2 - 4x2 + 2x - 1 = 0 có thể viết thành
(2x2 - X + l)2 - (4x2 - 2x + 2) + 1 =0hay(2x2-x+ l)2-2(2x2-x+ 1)+ 1 =0. Đặt ấn phụ t = 2x - X + 1, ta được :
t2 - 2t + 1 = 0 » (t - l)2 = 0 t = 1.
_Ị_ 2 '
Do đó ta có phương trình : 2x2 - X + 1 = 1 hay 2x2 - X = 0 hay x(2x - 1) = 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm là X = 0, X =
Phương trình X4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0 có thể viết thành
X4 + 2x3 + X2 + 4x2 + 4x - 5 = 0 hay (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 5 = 0.
Đặt t = X2 + X, ta được : t2 + 4t - 5 = 0. (*)
Vì 1 + 4 - 5 = 0 nên phương trình (*) có hai nghiêrn là : t = 1, t = -5.
Với t = l ta có X + X = l hay X + X - l = 0.
A = l2 -4.l.(-l) = 5.
Phương trình có hai nghiệm là : X =	, X = ——.
z2	/-1	2	r- f\
Với t = -5, ta có X + X = -5 hay X + X + 5 = 0.
A = l2 — 4.1.5 = -19 < 0.
-1 + ^5 2
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là : X =
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Giải, a) Đặt t = X2, t > 0, ta được : t2 - 5t + 4 = 0. (*)
Vì 1 - 5 + 4 = 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm là t = 1, t = 4.
z 2 1
Với t = l, ta có : X = l X = l hoặc X =-l.
Với t = 4, ta có : X2 = 4 X = 2, X = -2.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm : X = l, X = - l, X = 2, X = -2.
Đặt t = X2, t > 0, ta được : 2t2 - 3t - 2 = 0.
A = 9 - 4.2.(-2) = 25. Vậy 7Ã= 5.
Ta có : ti = —4— = 2, t2 = —■■ = -4- (loại).
4	2	4	2
Với t = 2, ta có X2 = 2 X = ± V2 .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là X = ±5/2 .
Đặt t = X2, t > 0, ta được : 3t2 + lOt + 3 = 0.
A'= 25 - 9 = 16. Vậy VÃ7 =4.
Ta có : tj = -—7— = " (loại), t2 = - 53	= -3 (loại).
Phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải, a) (x + 3y 3) + 2 = x(l - x)» X2 - 9 + 6 = 3x - 3x2
 4x - 3x - 3 = 0.
A = 9 - 4.4.(-3) = 57, VÃ = V57 .
3 + V57	3-V57
X, = 	 „	, x2 = 	■
1 8 2 8 b) Điều kiện : x + 5, X + 2.
(x + 2)(2 - x) + 3(x - 5)(2 - x) = 6(x - 5)
2 ' • " * 2
36. Giải. Lưu ý. Để trình bày lời giải gọn hơn, ta có thể dùng kí hiệu "[' từ hoặc.
5±VĨ3
» - X2 + 4 + 3(-x2 + 7x - 10) = 6x - 30 o 4x2 - 15x' -4 = 0.
A = 225 - 4.4.(-4) = 289. Vậy VĂ= 17.
15 + 17	,	15~17___L
4 '
X1 =
= 4, x2 =
8 "8 c) Điều kiện : X + -1, X -2.
—_ —x	X + 2	+ 2) = -X2 - x + 2x2 + 5x + 6 = 0.
X + 1 (x + l)(x + 2)
A = 25-4.1.6= 1.
-5 + 1	.. _ -5-1 _ o
X, = —-— = -2 (loại), x2 =	 = -3 .
thay cho
a) (3x2 - 5x + l)(x2 - 4) = 0 
3x2 - 5x + 1 = 0 X2 - 4 = 0
X = ±2.
b) (2x2 + X - 4)2 - (2x - l)2 = 0
« (2x2 + X - 4 + 2x - l)(2x2 + x- 4-2x+l) = 0
 (2x2+ 3x - 5)(2x? - X - 3) = 0 
2x2 + 3x - 5 = 0 - 2x2 - X - 3 = 0.
Xị = 1, x2 = -2,5, x3 = -1, x4 = 1,5.
Giải, a) 9x4 -10x2 +1=0. Đặt t = X2 > 0, ta có : 9t2 - lOt + 1 = 0.
Vìa + b + c = 9 -10 +1=0 nên ti= 1, t2 = —.
9
x1=-l,x2= l,x3= -j,x4=
5x4 + 2x2 - 16 = 10 - X2 » 5x4 + 3x2 - 26 = 0.
Đặt t = X2 > 0, ta có : 5t2 + 3t - 26 = 0.
A = 9 + 4.5.26 = 529 = 232. Ta có : t, = 2, t2 = -2,6 (loại).
Xj= 72 , x2= -72 .
0,3x4 + l,8x2 + 1,5 = 0 « X4 + 6x2 + 5 = 0.
Đặt t = X2 > 0, ta có : t2 + 6t + 5 = 0. Ta có : tj = -1 (loại), t2 = -5 (loại). Phương trình vô nghiệm.
Lưu ý. Cũng có thể nhận xét rằng vế trái X4 + 6x2 + 5 > 5, còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.
Điều kiện : X + 0.
2x2+1 = -y - 4 2x2 + 5 --y = 0 => 2x4+ 5x2 - 1 = 0.
X2	X2
Đặt t = X2 > 0, ta có : 2t2 + 5t - 1 = 0.
A _	, o _	Tn OÁ .. _ “5 + 733	-5 - 733
A = 25 + 8 = 33. Ta có : t, = — ■■ - - -—, tợ = ———— (loại).
1	4	2	4
_ 7-5 + 733	7-5 + 733
Xi =	„ 	» x2= — 	——— .
2
Giải, a) (x - 3)2 + (x + 4)2 = 23 - 3x x2 - 6x + 9 + X2 + 8x + 16 = 23 - 3x
2x2 + 5x + 2 = 0.
A = 25 - 16 = 9. x,=-2,x2=-j.
b) X3 + 2x2 - (x - 3)2 = (x - l)(x2 - 2)
 X3 + 2x2 - X2 + 6x - 9 = X3 - X2 - 2x + 2 2x2 + 8x - 11 = 0.
A'= 16 + 22 = 38.
-4 + 738	-4 - 738
X, = 	 X- = 	
(x - l)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5) X'3 - 3x2 + 3x - 1 + 0,5x2 = X3 + l,5x 2,5x2 - 1,5x + 1 = 0 5x2 — 3x + 2 = 0. Ta CÓ : A = 9 — 40 < 0. Phương trình vô nghiệm.
1S x(x-7) , X x-4 „ z	- -	„z
—--—— - 1 = -2. - —-— 2x(x -7) - 6 = 3x - 2(x - 4)
2	3
o 2x2 - 4x - 6 = 3x - 2x + 8 o 2x2 -15x -14 = 0. A = 225 + 112 = 337.
15 + V337	15-V337
Xị = 	—7	, x2 = 	7	.
4
14	1	. .	? „
Điều kiện : X * ±3. Ta có : —7—— = 1 - —-—=> 14 = X -9 + X + 3
X-9	3-x
 X2 + X - 20 = 0.
X] = 4, x2 = -5.
A rr, Ạ	X2 - X + 8
Điéu kiện : X -1, X * 4. Ta có : —— = 	—	— =>
x + 1 (x + l)(x-4)
2x(x -4) = x2-x + 8 2x2 -8x-x2 + x- 8 = 0x2-7x-8 = 0.
X] = -1, x2 = 8.
Vì X) - -1 không thoả mãn điều kiện của ẩn nên loại.
Phương trình có một nghiệm là x2 = 8.
Giải, a) (3x2 -7x - 10)[2x2+( 1 -5/5 )x + VI - 3] = 0 3x2-7x-10 = 0	(1)
2x2+(l-VI)x + V5-3 = 0. (2)
Giải(1) : Xị =-l,x2= y.
Giải (2): x3 = 1, x4 = ——.
b) X3 + 3x2 - 2x - 6 = 0 x2(x + 3) - 2(x + 3) = 0 (x + 3)(x2 - 2) = 0
x + 3 = 0
2
X2 - 2 = 0.
Vậy X]= -3, x2= -V2, x3 = V2.
(x2 - l)(0,6x + 1) = 0,6x2 + X (0,6x + l)(x2 - X - 1) = 0
0,6x + 1=0 X2 - x-1 = 0.
_	5 „	1 + 75 „ _ 1-75
WX1 = -|,x2 = —ỳ—,x3 = —y—.
(x2 + 2x - 5)2 = (x2 - X + 5)2 (x2 + 2x - 5)2 - (x2 - X + 5)2 = 0 (x2 + 2x - 5 + X2 - X + 5)(x2 + 2x-5-x2 + x-5) = 0
X =0
 (2x2 + x)(3x - 10) = 0 
Hướng dan.
2	XI	V 1 X* 2	x>	0 e
a) Đặt t = X + X, ta có phương trình 3t - 2t - l = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = X + X, ta được một phương trình của an X. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của X.
Từ phương trình 3(x2 + x)2 - 2(x2 + x) - l = 0.
3 '
-1 + 75	-1-75
-	■- x2 = ———
Đặt t = X2 + X, ta có : 3t2 - 2t - l = 0 => tj = l, t2 =
- Với t = l, ta có : X2 + X = l hay X2 + X - l = 0, Xị =
_ _ ..	1	-9	1	9
Với t = -7, ta có : X + X = -7 hay 3x + 3x + 1 = 0.
3	3
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : X, =	11	, Xọ =	l~. v^ .
2 2
b) (x2 - 4x + 2)2 + X2 - 4x - 4 = 0.
Đặt t = X2 — 4x + 2 thì X2 - 4x = t - 2. Ta có phương trình t2 + t - 6 = 0. Nghiệm của phượng trình là t! = 2, t2 = -3.
Với t = 2, ta có : X2- 4x + 2 = 2 hay X2 - 4x = 0. Suy ra X] = 0, x2 = 4.
Với t = -3, ta có : X2 - 4x + 2 = -3 hay X2 - 4x + 5 = 0.
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm X] = 0, x2 = 4.
Điều kiện : X > 0. Ta có : X -Vx = 5t/x + 7 X - 6x/x -7=0. Đặt t = Vx , t > 0, ta có : t2 - 6t -7 - 0. Suy ra : tj = -1 (loại), t2 = 7.
Với t = 7, ta có : Vx = 7. Suy ra X = 49.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm : X = 49.
Điều kiện : X -1, X * 0. x -10.x+— = 3.
X + 1	X
X .	.	, X +1	1
Đặt ——- = t, ta có : —— = - .
X +1	X t
10	7
Vậy có phương trình t - 3 = 0 hay : t - 3t - 10 = 0.
Suy ra tị = 5, t2 = -2.
X _	_	_	5
Với t - 5, ta có • = 5 hay X - 5x + 5. Suy ra X = —
X +1	4
Với t = -2, ta có x ■ = -2 hay X = -2x - 2. Suy ra X = -
X + 1
<N I co
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm :xj = - —, x2 =	.
D. Bài tập luyện thêm
Giải phương trình :
X4 - 2x2 + 3 = 4x2 - 5 ;
2x2(x2 - 3) = X4 - X2 + 14.
Giải phương trình :
X2 +5	= _2	x2-3 .
a (x2-3)(x2+1)	x2-3 X2 +1 ’
x2+6x-10 x + 4 x + 2 h) X -	'	— —	— 'ì
x2-3x-4 x + 1	x-4
x 2x X	2 - 2x
— -	 = —	7 •
x-3	x-2	x2-5x + 6
2
3. Giải phương trình :
3x3 - 12x2 - 2x + 8 = 0 ;
(X2 - 3x + 1)2 = 3x2-9x+ 1.
> Hướng dẫn - Đáp sô
Đáp số:
a) X = ±5/2 , X' = ± 2 ;	b) X = ±5/7 .
Giải, a) Điều kiện : X ±>/3 .
x2+5	_	2 X2 - 3	2 , c _-Z 2 , ,,	,2 ,v„2 0,
Giải, a) 3x3 - 12x2 - 2x + 8 = 0 3x2(x - 4) - 2(x - 4) = 0
x-4 = 0
'x = 4
9	2 «
3x2 - 2 = 0
X2 =-
L	3
« (x - 4)(3x2 - 2) = 0 »
X = 4
X = ±
t = 1 t = 2.
b) (x2 - 3x + l)2 = 3x2 - 9x + 1 (x2 - 3x + l)2 = 3(x2 - 3x + 1) - 2 o (x2 - 3x + l)2 - 3(x2 - 3x + 1) + 2 = 0.
Xj = 0 x2 = 3.
Đặt t = X2 - 3x + 1, ta có : t2 - 3t + 2 = 0 
Với t =	1, ta có X2 - 3x	+	1	= 1	X2 - 3x = 0	 x(x - 3)	= 0 
Với t =	2, ta có x2 - 3x	+	1	= 2X2 - 3x - 1	= 0.
A-o	/11/ ,A_19	- 3 + ^3	v _	3-VĨ3
3 + ỰĨ3 _	3-VĨ3
x4 =—
A = 9	- 4.1.(-1) = 13.	Ta	có :	x3	= —--—,	x4 =
Vậy phương trình có bốn nghiệm Xj = 0, x2 = 3, x3 =