Giải toán 9 Bài 7. Tứ giác nội tiếp

§7. Tứ GIÁC NỘI TIẾP
A. Tóm tắt kiến thức
1. Định nghĩa
A-—\
1 ư giác AtiCL) có bốn đinh nằm trên một dường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp (h.93).
// 1
2. Định lí
V ’° V
Trong môt tứ giác nôi tiếp, tổng sô' đo hai góc
đối diện bằng 180°.
d\	/c
3. Định lí đạo
Nếu một tứ giác có tôhg số đo hai gốc đô'i diện bằng 180u thì tứ giác đố nội tiếp dược một đường tròn.
Hình 93
Một sô dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Dùng định nghĩa
Dùng đinh lí đảo.
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Tứ giác ABCD, có ADB = ACB = a thì tứ giác ABCD nội tiếp (h.94).
B. Ví dụ
Ví dụ 1. Trong hình 95, chứng minh CM // DN.
> Giải (h.96)
Vẽ dây chung AB. Xét tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O), ta có BAD = M (cùng bù với BAC ).	(1)
Xét tứ giác ABND nội tiếp đường tròn (O'), ta có :
BAD+N = 180°.	(2)
Từ (1) và (2), suy ra :
M + N = 180°,
suy ra CM // DN (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Nhận xét : Khi có hai đường tròn cắt nhau, nếu cần vẽ đường phụ thì ta vẽ thêm dây chung. Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B sao cho OAO' > 90°. Tia OA cắt đường tròn (O') tại c. Tia O'A cắt đường tròn (O) tại D.
Chứng minh rằng :
Tứ giác CDOƠ nội tiếp ;
Tứ giác OCO'B nội tiếp ;
Năm điểm o, B, O', c, D cùng nằm trên một đường tròn.
Giải (h.97)
Các tam giác OAD, O'AC cân nên Di = Ai ; Cl = A2.
Mặt khác Ai - A2 (đđ) nên Di = Ci. Tứ giác OO'CD có hai đỉnh c và D cùng nhìn 00' dưới một cặp góc bằng nhau nên tứ giác 00'CD nội tiếp.
Ta có : AAOO' = ABOO' (c.c.c), suy ra ỐÃO’ = OBO'.
Vì OAO' + Ã2 = 180° (kề bù) nên OBO' + Cj = 180°
Do đó tứ giác OBO'C nội tiếp.
Tứ giác 00'CD nội tiếp nên bốn đỉnh o, 0', c, D cùng nằm trên một đường tròn. Tứ giác OBƠC nội tiếp nên bốn đỉnh o, B, O', c cùng nằm trên một đường tròn.
Hai đường tròn này có ba điểm chung nên chúng trùng nhau, do đó năm điểm B, o, 0', c, D cùng nằm trên một đường tròn.
Nhận xét : Phương pháp chứng minh năm điểm cùng nằm trên một đường tròn trong ví dụ trên là dựa vào tính chất : Nếu hai đường tròn có ba điểm chung thì chúng trùng nhau.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
53. Đáp số:
Cột 1) C= 100°; ố= 110°.
Cột 2) Â = 75°; B = 105°
Cột 3) c = 120° ; Các góc B và D không xác định được. Cột 4) D - 140° ; Các góc A và c không xác định được. Cột 5) Â = 106°; D = 115°.
Cột 6) C-85° ; B =82°.
A
Hình 98
Giải (h.98)
Tứ giác ABCD có B + D = 180° nên nội tiếp được trong đường tròn (O).
Ta có OA = OB = oc = OD nên điểm o nàm trên đường trung trực của AB, của AC và của BD, từ đó suy ra đpcm.
Đáp số: 50° ; 55° ; 80° ; 90° ; 120° ; 45° ; 100°.
Giải (h.99)
Ta đặt BCE - DCF = X.
Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác ta có :
ABC = X + 40°
ADC = X + 20°.
Ta lại có
ABC+ ADC = 180°
nên X + 40° + X + 20° = 180°.
Suy ra X = 60°.
Do đó ABC = 100° ; ADC= 80°.
Từ đó tính được BCD = 120° ; Ã = 60°.
Hướng dẫn.
Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được.
Giải (h.100).
Hình 100
Tam giác ABC đều nên Bi = Ci = 60°.
Tam giác BDC cân nên ồ2 = C2 = 60° : 2 = 30°.
Do đó ABD = ACD = 60° + 30° = 90°.
Tứ giác ABCD có B + C = 180° nên nội, tiếp được trong một đường tròn.
Vì ABD = 90° nên AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Vậy tâm o của đường tròn này là trung điểm của AD.
59. Giải (h. 101)
Vì AB // CD nên AP = BC ,
suy ra AP = BC.	(1)
Mặt khác AD - BC (2) nên từ (1) vả (2) ta có AP = AD.
Nhận xét: Bạn cũng có thể chứng minh D = APD (cùng bằng góc B) để suy ra AD = AP.
60. Giải (h. 102)
Đặt tên các điểm A, B và đánh số các góc như trong hình vẽ.
Vẽ các dây chung IA, IB. Xét các tứ giác AIST, BISQ, AIBP, ta có :
S = Ai (cùng bù với IAT).
Ai = Bi (cùng bù với PBI).
Bi = Ri (cùng bù với IRQ ).
Suy ra S = Ri, do đó QR // ST (vì có Cặp các góc so le trong bằng nhau).
Hình 101
D. Bài tập luyện thêm
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M. Qua M vẽ một đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng :
Tứ giác ABFE nội tiếp ;
J b) EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM.
Trên một cạnh của góc M ta lấy hai điểm A và B (MA < MB). Trên cạnh kia lấy hai điểm c và D (MC < MD) sao cho MA.MB = MC.MD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, c, D cùng nằm trên một đườrig tròn.
Cho hình thang cân ABCD (AB là đáy nhỏ) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường chéo cắt nhau tại p, hai cạnh bên kéo dài cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng :
Các tứ giác ADOP, BCOP nội tiếp.
Tứ giác QBOD nội tiếp.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, các tia tiếp tuyến Ax, By. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn và N là một điểm trên AB. Qua M vẽ một
đường thẳng vuông góc với MN cắt Ax, By lần lượt tại c và D. Gọi E là giao điểm của AM và CN, gọi F là giao điểm của BM và DN. Chứng minh rằng :
Các tứ giác ACMN, BDMN nội tiếp ;
Tứ giác EMFN nội tiếp ;
EF // AB.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Các dây MD, MC cắt AB lần lượt tại E và F.
Chứng minh tứ giác EFCD nội tiếp.
Gọi p là giao điểm của các tia DA và CM, gọi Q là giao điểm của các tia CB và DM. Chứng minh tứ giác PQCD nội tiếp.
>
1.
Chứng minh PQ // AB.
Hướng dẫn - Đáp sô'
(h.103).
Vì EF // CD nên BCD + BAD = 180°.
Suy ra BFE + ỖÃẼ = 180°
Do đó tứ giác ABFE nội tiếp.
Ta có EF // CD nên BMF = Dị (cặp góc
đồng vị). Mặt khác Aj = Dị (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
Suy ra BMF = Aj.
Vì A, = ẬsđMB nên BMF = 4sđMB.
	.	Hình 104
2 2
3. (h.105).
a) Vì AB // CD nên AD = BC , ta có :
7—=- sđAD + sđBC
APD =	—	 = sđAD.
2
4.
Mặt khác AOD = sđAD .
Suy ra APD = AOD, do đó tứ giác APOD nội tiếp. Chứng minh tương tự ta được tứ giác BPOC nội tiếp.
Tứ giác APOD nội tiếp nên ADO = OPC (cùng bù với góc APO).
Tứ giác BPOC nội tiếp nên OBC = OPC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OC).
Suy ra ADO = OBC .
Tứ giác QBOD có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện nên QBOD nội tiếp. (h.106).
Tứ giác ACMN có A + M = 180° nên nội tiếp đường tròn. Chứng minh tương tự ta được tứ giác BDMN nội tiếp.
Ta có Cj = Aj ; Dj = B] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN).
Vậy ACND co AAMB (g.g),
suy ra CND = AMB .
Hình 105
Hình 106
Ta có AMB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra CND = 90°.
Tứ giác EMFN có EMF + ENF = 180° nên nội tiếp đường tròn.
Ta có EFN = AMN (hai góc nội tiếp cùng chắng cung EN),
AMN = ACN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN),
ACN = BND (cùng phụ với góc ANC).
Suy ra EFN = BND, do đó EF // AB (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
5. (h.107).
xTTA _ sđAD + sđMB a) MEB =	
2
sđAD + sđMA _ sđMAD
~2	- T~
Nhận xét: Khi đã chứng minh được một tứ giác nội tiếp ta có thể vẽ đường tròn đi qua bốn đỉnh của nó để dễ nhận ra các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Đó chính là lợi ích của chứng minh tứ giác nội tiếp.
... _ _z rCA; sdMAD Mặt khác, ta có : MCD = ———.
2
Do đó MEB = MCD .
Suy ra tứ giác EFCD nội tiếp.
5^=sd6c-sdM^
2
- sđDC-sđMB
DQC --	. Mà MA = MB nên
2
DPC = DQC, do đó tứ giác PQCD nội tiếp.	Hình 107
Ta có PQD = PCD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PD), mà MEB = PCD (chứng minh trên)
nên PQD = MEB.
Suy ra PQ // AB (vì có cặp góc sole trong bằng nhau).