Giải toán 9 Bài 2. Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
§2. HÌNH NÓN. HÌNH NÓN CỤT. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT A. Tóm tắt kiến thức 1. Hình nón A Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh A cạnh góc vuông OA cố định thì được một hình /1 \ nón (h.155). / ' \ • A là đỉnh của hình nón. /s' 1 ** • Hình tròn (0 ; OC) là đáy của hình nón. ( CI---V 0 2^ • AC là một đường sinh. • AO là đường ụao. Hình 155 Diện tích xung quanh của hình nón Sỵ(/ = ĩĩRL Stp = ĩỉRỈ + ĩĩR2 (R là bán kính đáy ; ỉ là đường sinh). Thể tích hình nón V = -J ĩtR2lì (h là chiều cao). Hình nón cụt Khi cắt hình nón bởi một mặt phang song song với đáy thì phần mặt phang nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên vù mặt đáy được gọi là một hình nón cụt (lỉ.J56). Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt SXq = 7ĩ(R + r)l. v=~ ưhỊR2 + r2 + Rr). 3 (R, r là các bán kính đáy, l là đường sinh, h là chiều cao). B. Ví dụ Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm và diện tích xung quanh bằng 657rcm2. Tính diện tích toàn phần của hình nón. Tính thể tích của hình nón. Người ta cắt hình nón nói trên bằng một mặt phẳng (P) song song với đáy và đi qua trung điểm của đường cao. Tính thể tích của hình nón cụt được tạo thành. > Giải (h. 157). Diện tích đáy hình nón là : sđáy = 7iR2 = 7I.52 = 2571 (cm2). Diện tích toàn phần của hình nón là : stp = 65ĩicm2 + 257icm2 = 907ICIT12. sxu Ta có Sxu = 7iRZ => / = —^7-. q tiR Đường sinh của hình nón là : ì = = 13 (cm). 71.5 Đường cao của hình nón là : h = so = VsA2 - OA2 = Vl33 -55 = 12 (cm). Thể tích của hình nón là : V = -Ị-7ĩR2h =4.7Ĩ.52.12 = 10071 (cm3). 3 3 Gọi O' là trung điểm của so. Gọi A' là giao điểm của SA với mặt phẳng (P). Ta có O'A' là đường trung bình của ASOA nên O'A' = 2,5cm. Thể tích của hình nón cụt là : Vnóncụt = j*.h(R2 + r2 + Rr) = |ti.6(52 + (2,5)2 + 5.2,5) = 87,5ti (cm3). Nhận xét: Bạn có thể tính thể tích hình nón cụt bằng cách tính hiệu thể tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ. Thể tích hình nón nhỏ là : v2^= - 7tr2h' = |-7ĩ(2,5)2.6 = 12,5 (cm3). Thể tích hình nón cụt là : Vnón cụt = V - v2 = 100n - 12,571 = 87,571 (cm3). c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Giải Bán kính của hình tròn đáy là R = . Chiều cao của hình nón là h = 1. Đường sinh là l = Hình 158 Độ dài cung của hình quạt tròn bằng chu vi của hình tròn đáy. Do đó /] = 271.2 = 471 (cm). Tacó/,-’1*'" --- 180J> => n = 180 7iR Số đo cung của hình quạt tròn là : 180.471 7T.6 = 120°. n = 7ĩ.a Trả lời: Chọn (D). Trả lời: Chọn (A). Trả lời : Dòng 1 : 20 ; I0V2 ; = 180°. 100071 17. Giải (h.159) Xét AAOC vuông tại o, A = 30° nên oc = — AC = . 2 2 Độ dài đường tròn đáy là 271.oc = Tta. Độ dài cung hình quạt là lỵ = 7ĩa. Số đo cung hình quạt là : 180.7t.a Dòng 2:5; 5V5 ; 25071 Dòng 3 107371.20^371 10 In+ 3 n ’ n ’ V 71 30 10 í * —; 71 71 120 5 r 5 — V 7T 71 71 Dòiịig 5:5; + 576. 21. Giải (h.160) • Phần hình nón có 1 = 30cm ; r = (35-2.10): 2 = 7,5 (cm). Diện tích mặt xung quanh của hình nón là : Sj = n.r.l = 71.7,5.30 = 22571 (cm2). _ , nl\ Ta có —— = 7iR/ => I = 4R. Phần hình vành khăn có : r = 7,5cm ; R = 17,5cm. Diện tích hình vành khăn là : $2 = 7i(R2 - r2) = 7i[(17,5)2 - (7,5)2] = 25Ơ7I (cm2). Diện tích vải cần có là : s = s, + Sj = 22571 + 250tĩ = 47571 (cm2) « 1491,5 (cm2). 22. Trả lời: Tổng thể tích của hai hình nón bằng thể tích hình trụ. 23. Giải (h. 161) Tĩí' ~4 Vậy since = — = -77- = -ị => a ~ 14°28'. I 4R 4 Hướng dẫn : Tính bán kính đáy được 3272 đường cao so - —j— em. .72 2 Suy ra tga =-^-. Chọn (A). Đáp số: 7i(a + b)/. Trử lời Dòng 1 : 10cm ; 13cm ; lOOTtcm3. Dòng 2 : 8cm ; 17cm ; 3207icm3. Dòng 3 : 14cm ; 24cm ; 3927icm3. Dòng 4 : 20cm ; 21 em ; 28007ĩcm3. 27. Giải (h. 162) Phần hình trụ có R = 70cm ; h = 70cm. Phần hình nón có R = 70cm ; h = 90cm. Đường sinh của hình nón là : = 77O2 + 902 = 1 o7Ĩ3Õ (em). Tổng thê tích cúa dụng cụ là : V = V, + v2 = 7t.702.70 + ịĩĩ.702.90 3 = 490 OOOtl (cm3) =*0,4971 (m3). 55 833 (cm2) ~ 5,58m2. Tổng diện tích mặt ngoài của dụng cụ là : s = Sị + s2 = 2tl.70.70 + 71.70.10 7ĨÌÕ Nhận xét : Để tính được thể tích của hình trụ cũng như của hình nón ta cần biết hai yếu tố là R và h. Để tính được diện tích xung quanh của hình trụ ta cũng chỉ cần biết R và h, còn đối với diện tích xung quanh của hình nón ta cần biết R và l. Hướng dẫn (h. 163) Đã biết R, r và /, tính được Sxq = 108071 (cm2). Tính SO và SO' rồi tính hiệu của chúng. Đó là chiều cao của hình nón cụt 00' = 24722 = 34 (cm). Thể tích của hình nón cụt là V = 25302 (cm3) = 25,3 lít. Giải. Ta có công thức tính thể tích hình nón 1 2. v = 7tlR 2h. 3 Thay số: 17600= |tlR2.42. 3 Suy ra R2 = 400,36, do đó R = 20,01 (cm). D. Bài tập luyện thêm Từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy là 9cm và chiều cao là 12cm người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất. Tính thể tích phấn gỗ bị bỏ đi. Tính diện tích toàn phần của hình nón. Từ một tấm bìa hình quạt tròn có bán kính 36cm và góc ở tâm là 120° người ta cuộn lại để tạo thành một hình nón (mép dán không đáng kể). Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. Tính thể tích của hình nón này. Một hình nón cụt có thể tích 3 9207ĩcm3. Biết bán kính hai đáy là 12cm và 20cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt đó. > Hướng dẫn - Đáp số (h.164). / / / /_ - XL 2 0 Hình 164 Thể tích của hình trụ là : Vj = 7ĩR2h = 7I.92.12 = 972tt (cm3). Thể tích hình nón lớn nhất là : 1 7iR2h = ị 7I.92.12 = 324 (cm3). 3 3 Thể tích phần gỗ bỏ đi là : = 97271 - 32471 = 64871 (cm3), Đường sinh của hình nón là : / = Vl22 +92 = 15 (cm). Diện tích toàn phần của hình nón là : stp = ttR/ + 7iR2 = 71.9.15 + 71.92 = 216ti (cm2). 2. (h.165). a) Diện tích tấm bìa hình quạt là : 7iR2n 71.36 .120 _ . 2, = 43271 (cm ). 360 360 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 4327Tcm b) Độ dài cung hình quạt 120° là : 7iRn 7T.36.12O 180 180 Bán kính của đáy hình nón là : 24tt = 2471 (cm). 2tt = 12 (cm). Chiều cao của hình nón là : h = V362 -122 = 24V2 (cm). Thể tích của hình nón là : v= ị7ir2h= 1tt.122.2472 = 1152^2 71 (cm3). 3 3 3. (h. 166). Từ công thức tính thể tích hình nón cụt v = |n.h(R2 + r2 + Rr). Suy ra h - — \—-— 7I(R + r + Rr) 15 (cm). 3.3920k k.(202 + 122 +20.12) Độ dài đường sinh của hình nón cụt là : / = Va'H2 + HA2 = x/l52 +82 = 17 (cm). Diện tích xung quanh của hình nón cụt là : Sxq = rc(R + r)./ = 71(20 + 12). 17 - 54471 (cm2).