Giải toán 9 Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

ax + by = c a' x + b' y = c'
ta có thể làm như sau :
§ 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÊ A. Tóm tắt kiến thức
Muốn giải hệ phướng trình
-by + c
Gi ủ sử rằng ur(i.
Bước 1. Rút một ẩn X từ một phương trình ax + by = c, ta được X =
DUƠC X. I nay X = —	 vào pnưo
a
trình một ẩn a'.	+ 6 + b'y = c'.
Q	„7..^^..^ X..'	7. ...Ax	a’.	V
Bước 2. Thay X =	VÍJỠ phương trình a'x + b'y = c', ta được một phương
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa được trong bước 2, tìm được giá trị của y.
Bước 4. Thay giá tri vừa tìm được của ẩn y vào biểu thức X = fey —- , ta tìm ạ
được giá trị tương ứng của X.
Cặp giá trị tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý. a) Nếu a = 0 thì b^o. Khi đó ta rút y từ phương trình ax + by = c.
b) Khi các hệ sô a, b, a', b' lủ những số nguyên, ta thường rút ẩn mà hệ số của nó có giá tri tuyệt đối nhỏ nhất.
B. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
Giải phương trình (4):
(4) 4x + 15x — 18 = 1 19x = 19 X = 1.
Thay X = 1 vào phương trình (3) ta được :
y = 5.1 -6 = -l.
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; -1).
đối tương đương như sau :
5x - y = 6 4x + 3y = 1 y = 5x - 6
y = 5x - 6 4x + 3y = 1
y = 5x - 6 19x = 19
 í
 5
y = 5x - 6 4x + 3(5x - 6) = 1
4x + 15x-18 = l Vậy hệ có một nghiệm là (x ; y) = (1 ; -1).
.	Í2x-5y = 6
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
y = 5x - 6 X = 1
y = -i X = 1.
(1)
(2)
4x + 7y = -5
> Giải. Vì 2 là hệ số có giá trị tuyệt đối bé nhất nên ta rút X từ phương trình (1). Ta được :
5y + 6
(3)
- Thay X =	vào phương trình (2), ta được :
2
5y + 6
+ 7y = -5 hay 2(5y + 6) + 7y = -5.
(4)
Lưu ý. Có thể trình bày phép giải hệ phương trình bằng một dãy các phép biến
Giải phương trình (4) :
(4) lOy + 12 + 7y = -5 « 17y - -17 y = -l.
Thay y = -1 vào phương trình. (3), ta được :
5.(-l) + 6 _J_ 2 ~2
v2; Y
Vậy hệ đa cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) =
Ví dụ 3. Tìm a và b để đường thẳng (d) : ax + by = 7 đi qua hại điểm A(-3 ; 10) và B(2; -9).
> Giải. Vì đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B nên toạ độ của chúng thoả mãn phương trình ax + by = 7 ; nghĩa là :
(1)
(2)
-3a + 10b = 7
2a - 9b = 7 Giải hệ phương trình này với hai ẩn là a và b.
Rút a từ phương trình (2), ta được
(3)
(4)
9b + 7 a =—— ■
2
Thay a =	+ 7 vào phương trình (1), ta được :
_3.2Ề±2+ i0b = 7 hay -27b-21 + 20b = 14.
- Giải phương trình (4):
(4) -7b = 35 « b = -= -5.
7
- Thay b = -5 vào phương trình (3), ta được :
= -19.
9 (-5)+ 7
Vậy a = -19, b = -5.
Ví dụ 4. Tim giá trị của b để ba đường thẳng (dj): 4x - 3y = 1, (d2): - 5x + 3y = -2, (d3): 5x + by = 7 đồng quy.
❖ Phân tích. Ba đường thẳng (dj), (d2), (d3) đồng quy có nghĩa là đường thẳng (d3) đi qua giao điểm của <dj) và (d2). Vì thế trước hết cần tìm giao của (dị) và (d2).
hệ phương trình
Hơn nữa, vì giao điểm này thuộc (dj) và (d2) nên toạ độ của nó là nghiệm của 4x-3y = 1 -5x + 3y = -2.
y=—
-5x + 3y = -2
y=—
-5x + 4x - 1 = -2
3
4x -1
4x -1
(!)
> Giải. • Tim giao điểm của (dj) và (d2). Giải hệ phương trình (I)
4x -1
-X =
Vậy giao điểm của (d]) và (d2) là M(1 ; 1).
• Để (dị), (d2) và (d3) đồng quy thì điểm M(1 ; 1) phải thuộc (d3).
Muốn vậy ta phải có : 5.1 + b. 1 = 7. Suy ra b = 7 - 5 = 2.
Vậy để (d]), (d2) và (d3) đồng quy thì b = 2.
c Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Hướng dẫn : a) Rút X hoặc y từ phương trình đầu.
Rút y từ phương trình thứ hai.
Rút X từ phương trình đầu.
Đáp sô : a) (x ; y) = (10 ; 7); b) (x ; y) =	; c) (x ; y) =	; --^J .
a) Đáp sô': (x ; y) = (7 ; 5).
. X , X ,	3x -6
b) Hướng dân. Rút y từ phương trình đâu ta được : y = —-—.
Đáp sô': (x ; y) = (3 ; 1,5).
Giải.
a) Từ phương trình đầu rút ra X = -y 5/5 . Thay vào phương trình thứ hai được :
-y V5 . V5 + 3y = 1 - SỈ5 hay -2y = 1 - 5/5 . Suy ra y =
Do đó X = -
V5-1	/7	5-V5_V5-5
X 	—-. V5 	— =—-—
Vậy nghiệm của hệ là (x ; y) =
^75-5.75-1 V 2 ; 2 ) b) Từ phương trình thứ hai rút ra y = -4x + 4 - 2 73 .
Thay vào phương trình đầu được :
(2-73 )x-3(-4x+ 4-273) = 2 + 573 hay (14-73 )x= 14-73. Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; - 2 73 ).
15. Trử lời: a) Với a = -1, ta có hệ phương trình
. Hệ vô nghiệm.
2x + 6y = -2
X + 3y = 1
(x;y)=(2;-i).
Hệ có vô số nghiệm.
16. Hướng dẫn : a) Rút y từ phương trình đầu.
Rút y từ phương trình thứ hai.
Đổi phương trình đầu thành 3x - 2y = 0 và rút X từ phương trình thứ hai. Đáp số: a) (x ; y) = (3 ; 4); b) (x ; y) = (-3 ; 2); c) (x ; y) = (4 ; 6).
17. Giải, a)
x72 - y73 = 1
X + y73 = 72
-y(76 + 73) = -l X = -y73 + 72
x72 - y73 = 1
X = -y73 + 72
1
76+73
= -7ĩ-
b)
X - 2\Ỉ2y = 75 x72 + y = 1 - 7ĨÕ
X = 2sỈ2y + 75 5y + 7ĨÕ = 1 -7ĨÕ
X = 2\Ỉ2y + 75
1 - 27ĨÕ
'(-y73 + 72)72-y73 = X = -y73 + 72
76-73
72
76+73 X = 2sỈ2y + 75
72.(272y + 75) + y = 1 - 7ĨÕ
X = 2s[2y + 75 5y = 1 - 27ĨÕ 272-375
5
1-27ĨÕ
V 2
19. Giải. Vì P(x) chia hết cho X + 1 và X - 3 nên :
m(-l)	Xét xem ba đường thẳng (dị): 6x - y - 7, (d2): 7x + 2y = 5, (d3): -3x + 5y - có đồng quy hay không ?
 	Tim một phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho hai cặp số (-3 ; 1) và (1 ; 3) đều là nghiệm của nó.
Có thể tìm được bao nhiêu phương trình như thế ?
 	Xác định a và b để hai đường thẳng
(dị): (2a- l)x + (b - 2)y = 14, (d2): (a + 5)x - (2b + l)y = 13 cắt nhau tại điểm M(2 ; -1).
 + (m - 2).(-l)2 - (3n - 5).(-l) - 4n = 0
m.33 + (m - 2).32 - (3n - 5).3 - 4n = 0
c)
(72 - l)x - y = 72
y = (72 - l)x -72
 <j
X + (72 + l)y = 1
X + (72 + 1).[(72 - l)x -
(y = (72-1)x-72
y = (72 - l)x -72
r-
[2x = 3 + 72
3 + 72
l 2
18. Hướng dẫn : a) Vì hệ phương trình có nghiệm là (1 ; -2
y=’ĩ
X =
3 + 72
2.1 + b.(-2) =-4 b.l - a.(-2) =-5.
Đáp số: (a ; b) = (-4 ; 3).
b) Đáp sô': (a ; b) -
Ấ5V2-2
;-2-7^).
hay
-n - 7 = 0 36m - 13n - 3 = 0.
22
Giải hệ phương trình này ta được (m ; n) = I “ 9 ; “ 7 I.
D. Bài tập luyện thêm
1. Xét xem hai hệ phương trình
(I)
5x - 2y = 3 -4x + 7y = 3
và (II)
9x + y = 10 3x - 8y = -5
có tương đương hay không ?
= -8
5. Giải hệ phương trình <
X + 2y - 1
6
+ 6x + 3y = 10
X + 2y - 1
- 2x - y + 2 = 2.
> Hướng dẫn - Đáp sô
Hướng dãn : Giải hai hệ phương trình.
Trả lời : Có, vì cả hai hệ đều có nghiệm duy nhất là (1 ; 1).
Hướng dẫn : Tìm giao điểm của (dị) và (d2) rồi xét xem giao điểm ấy có thuộc (d3) hay không.
Trả lời : Có.
Giải. Cách 1. Giả sử phương trình phải tìm là ax + by = c. Vì (-3 ; 1), (1 ; 3) đều là nghiệm của phương trình nên
a.(-3) + b.l = c a. 1 + b.3 = c
hay <
í-3a + b = c (1) a + 3b = c. (2)
Từ (1) suy ra b - 3a + c.
Thay biểu thức của b vào (2), ta được : a + 3(3a + c) = c
hay 10a = - 2c. Do đó a - -4 và b - -3.4 + c = “ •
5	5	5
Chọn c = -5, ta được : a = 1, b = -2.
Phương trình X - 2y = -5 có nghiệm là (-3 ; 1) và (1 ; 3).
Với mỗi giá trị khác 0 của c ta tìm được những giá trị tương ứng của a và b. Vì thế có vô số phương trình bậc nhất nhận hai cặp số đã cho làm nghiệm.
Cách 2. Vì hai cặp số (-3 ; 1) và (1 ; 3) là nghiệm của phương trình nên hai điểm M(-3 ; 1) và N(1 ; 3) thuộc đường thẳng biểu diễn tập nghiệm'của một phương trình. Hơn nữa đường thẳng này cắt cả hai trục toạ độ nên nó là đồ thị của hàn số y = ax + b.
3 - a.l + b.
Giải hệ phương trình này ta được a = ^- và b = — .
hai cặp số đã cho.
Nếu nhân hai vế của phương trình với một số khác 0 tuỳ ý ta lại được một phương trình tương đương với phương trình (*). Do đó ta có vô số phương trình bậc nhất hai ẩn nhận hai hai cặp số đã cho làm nghiệm.
Hướng dẫn : Vì (2 ; -1) là nghiệm của hai phương trình
(2a- l)x + (b - 2)y = 14 và (a + 5)x - (2b + l)y = 13 nên thay X = 2, y = -1 vào hai phương trình này ta được một hệ hai phương trình bậc nhất với ẩn là a và b. Giải hệ vừa được.
• Đáp số: (a ; b) = (3 ; -2).
. , 1
Hướng dân : Đật ấn phụ u =	-7	(1)
X + 2y - 1
V = 2x + y	(2)
ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u, V. Thay các giá trị tìm được của u và V vào hai đẳng thức (1), (2) rồi giải hệ mới đối với hai ẩn X và y.
Đáp số: (1 ; 1).