Giải toán 9 Bài 3. Phương trình bậc hai một ẩn số

§3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. Tóm tắt kiến thức
Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng
ax + bx + c = o,
trong đó X là ẩn ; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ^0.
g. Cách giải một vài dạng phương trình bậc hai
Dạng ax + bx = 0(c = 0)
Đưa về phương trình tích : x(ax + b) = 0.
Phương trình có nghiệm là : Xị =■ 0 và X2 = -— ■ a
Dạng ax2 + c = 0 (b = 0)
Đưa về phương trình : X =	.
a
Nếu —> 0 thì phương trình vô nghiêm, a
Nêu — <0 thì phương trình có nghiệm X =± a
2	,	z t	TIZZA
Dạng ax + bx + c = 0, với a, b, c khúc 0.
Đưa phương trình về dạng vế trái là một bình phương, vế phải là một hằng số.
Biến đổi vế trái :
-3x + 5x = 0 là một phương trình bậc hai với a = -3, b = 5, c = 0.
6x + 7 = 0 không phải là một phương trình bậc hai.
X - 9 = 0 là một phương trình bậc hai với a = 1, b = 0, c = -9.
X" - 2x + 1 = 0 không phải là một phương trình bậc hai.
-8x2 = 0 là một phương trình bậc hai với a = -8, b = 0, c = 0.
Ví dụ 2. Giải phương trình :
2x2 - 6x = 0 ;	b) 5x2 + 8x = 0.
Giải. a) 2x2 - 6x = 0 2x(x - 3) = 0 X = 0 hoặc X - 3 = 0
X = 0 hoặc X = 3.
Phương trình có hai nghiệm là X] = 0, x2 = 3.
5x2 + 8x = 0 x(5x + 8) = 0x = 0 hoặc 5x + 8 = 0
Q
» x = 0 hoặc 5x = -8 X - 0 hoặc X = -4.
5
8
Phương trình có hai nghiệm là : Xj = 0, x2 - —I.
Ví dụ 3. Giải phương trình :
-5x2+10 = 0;
2x2 + 4 = 0.
Giải, a) - 5x2 + 10 = 0 » 5x2 = 10 » X2 = 2 X = V2 hoặc X = - V2 . Phương trình có hai nghiệm : Xị = V2 , x2 = - V2 .
2x2 + 4 = 0-» 2x2 = - 4. Vì vế trái không âm còn vế phải âm nên không có giá trị nào thoả mãn phương trình này.
Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 4. Giải phương trình :
2x2 - 5x + 2 = 0 ;
2x2 + 4x + 3 = 0.
Giải, a) 2x2 - 5x + 2 = 0 » 2x2 - 5x = -2 » X2 X = -1
2
ư=-1+2í«fx_2ì .
16
-16 + 25
16
X--7	= —- X—- = . — hoặc X-—=-
16
16
5	5	3	..	1
 X —- = —hoặc X	» X = 2 hoặc X = —.
4	4	4	4	2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: Xị = 2, x2 = -^ .
b) 2x2 + 4x + 3 = 0 2x2 + 4x = -3 X2 + 2x = ——
2
 X2 + 2x + 1 = -Ậ + 1 (x + l)2 = --7 .
2 2
Vi vế trái không âm, vê' phải âm nên phương trình vô nghiệm.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Trả lời :
5x2 + 3x - 4 = 0, với a = 5, b = 3, c = -4.
,,3 2	15 ,, ,.3	15
5	2	5	2
2x2 + (1 - 73 )x - (1 + 73 ) = 0, với a = 2, b = 1 - 73 , c = -(1 + 73)
2x2 - 2(m - l)x + m2 = 0, với a = 2, b = - 2(m - 1), c = m2.
Đáp số:
X = ±272 ;	b) X = ±2 ;
c) Vô nghiệm ;
7?
Xị = 0, x2 = —— ; e) X] = 0, x2 = 3.
Giải, a) X2 + 8x = -2 X2 + 8x + 16 = -2 + 16 (x + 4)2- = 14.
X2 + 2x = X2 + 2x + 1 = 4 + 1 (x + l)2 = 4.
3	3
\2
Giải. 2x2 + 5x + 2 = 0 2x2 + 5x = -2 X2 + — X = -1
-16 + 25
16
2 , o 5	(5Ỵ-_ , , 25	(	5
 X + 2,— X + — = -1 + 2— x + — 16 l 4
X + — I = --- X + — =	hoặc X + — =
16	4	V16	4
,53	,5	3	1
 X + — - — hoặc X + — = —- X = —- hoặc X = -2.
4	4	4	2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: Xj = “, x2 = -2.
D. Bài tập luyện thêm
Giải phương trình :
b) 4x - 12x = 0 ; d) 12x2+ 1 =0.
3x2 + 9x = 0 ;
5x2 - 7 = 0 ;
Giải phương trình bàng cách đưa về phương trình có vế trái là một bình phương và vế phải là một hằng số :
a) X2 + 6x - 7 = 0 ;	b) 2x2 - 4x - 3 = 0 ;
3x2 + 6x + 4 = 0
Cho phương trình (m - 1 )x2 - 2(2m + 1 )x + 3m + 3 = 0.
Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho là một phương trình bậc hai.
Giải phương trình khi m - 2 bằng cách đưa phương trình về dạng vế trái là một bình phương và vế phải là một hằng số.
Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm X - 1.
b) Xj = 0, x2 = 3 ;
d) Vô nghiệm.
> Hướng dẫn - Đáp số
Đáp số: a) Xị = 0, x2 =-3 ;
Giải, a) X2 + 6x - 7 = 0 X2 + 6x = 7 X2 + 2.3x + 9 = 7 + 9 (x + 3)2 = 16 ox + 3 = 4 hoặc x + 3 = -4x = 1 hoặc X = -7.
2x2 - 4x - 3 = 0 2x2 - 4x = 3 X2 - 2x = ị 2
? -	.	3	.	.	..2	5	,	[5 , _
 X - 2x + 1 = 4+ 1 (x - 1) = -- X - 1 = , P- hoặc X - 1 -
2	2	V2
 X = 1 +
hoặc X - 1 -J-T hay X =
2 + VĨÕ
2-VĨÕ
hoặc X -
2 2
3x2 + 6x + 4 = 0 3x2 + 6x = -4 X + 2x =
 X2 + 2x + 1 = “4+ 1 (x + l)2 = - ị.
3	3
Phương trình vô nghiệm.
Giải, a) Phương trình đã cho là một phương trình bậc hai khi m - 1	0 hay
khi m + 1,
b) Khi m = 2, phương trình đã cho trở thành : X2 - lOx + 9 = 0.
Ta có : X2 - lOx + 9 = 0 X2 - lOx = -9 x“ - 2. X. 5 + 5“ = -9 + 5'
 (x - 5)2 = 16 X - 5 = 4 hoặc x-5=-4x = 9 hoặc X = 1.
Với X = 1, ta có
(m - l).l2 - 2(2m + l).l + 3m + 3 = m - 1 - 4m - 2 + 3m + 3=0.
Vậy với mọi giá trị của m thì X = 1 luôn là nghiệm của phương trình đã cho.