Giải toán 9 Bài 2. Liên hệ giữa cung và đây

§2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
Tóm tắt kiến thức
Định lí 1
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn hằng nhau :
Hai cung hằng nhau căng hai dây hằng nhau.
Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Trong hình 16 :
AB = CD <^AB = CD.
Định lí 2
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn hằng nhau :
Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Trong hình 17 :
AB > CD AB > CD.
Định lí (bổ sung)
Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau :
AB II CD =>AC = BD (h.18)
B. Ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng đường kính vuông gòc với một dây thì chia đôi cung căng dây.
> Giải (h. 19)
Ta có OM ± AB (tại H). Suy ra HA = HB (đường kính vuông góc với một dây).
Do đó AMAB cân, dẫn tới MA = MB, suy ra MA =MB.
Nhận xét
Ví dụ trên là một định lí hay dùng. Bạn cần nhớ	Hình 19
để vận dụng.
Khi đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi dây, chia đôi cả cung nhỏ và cung lớn.
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo là m° (m < 90). Vẽ dây CD ± AB và dây DE // AB.
Chứng minh ba điểm c, o, E thẳng hàng.
Xác định giá trị của m để có AD = DE = EB.
> Giả/(h.20)
Ta có AB± CD nên AC = AD .	(1)
Vì DE // AB nên AD = BE (hai cung chắn giữa hai dây song song). (2) Từ(l) và (2) suy ra AC = AD = BE.
TacósđCAE =sđCA +sđAE
= sdBE + sdAE. = sdBEA = 180°
Suy ra CE là đường kính, do đó ba điểm c, o, E thẳng hàng,
AD = DE = EB AD = DE = EB = 180° : 3 = 60°.
Mặt khác AC = AD nên sđ AC - 60°.
Vậy AD = DE = EB => m° = 60°.
Nhận xét: Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong bài này là vận dụng tính chất :
Hai đầu đường kính thẳng hàng với tâm của đường tròn.
A
B. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
10. Giải (h.21)
Vẽ đường tròn (O ; 2cm) và dây AB = R = 2cm. Tam giác AOB là tam giác đều nên AOB = 60°. Suy ra sđ AB = 60°. Như vậy AB = 2cm.
Ta vẽ 6 dây liên tiếp, mỗi dây có độ dài bằng bán kính của đường tròn. Theo câu a) mỗi dây này căng một cung nhỏ là 60° nên ta được 6 cung bằng nhau. ,
11. Giải (h.22)
Hình 22
Hai đường tròn (O) và (O') bằng nhau nên ABC = ABD = 180°. Mặt, khác AmB = AnB (cùng căng dây AB). Do đó ABC - AnB = ABD - AmB.
Suy ra BC = BD dẫn tới BC = BD.
Điểm E nằm trên đường tròn đường kính AD nên ẤẼD = 90°.
12
Xét AECD vuông tại E, có EB là đường trung tuyến nên BE = BD (=^- CD). Do đó BE = BD tức là B là điểm chính giữa của cung EBD.
Giải (h.23)
Xét tam giác ABC ta có BC < AB + .AC.
Nhưng AD = AC nên BC < AB + AD.
Do đó BC < BD.
Suy ra OH > OK (dây gần tâm hơn thì lớn hơn).
Ta có BC < BD (chứng minh trên).
Suy ra BC < BD.
Giải (h.24)
Giả sử AB và CD là hai dây song song, AB < CD.
Ta phải chứng minh AC = BD.
Vẽ đường kính MN ± AB (M nàm trên cung nhỏ AB). Ta được MN 1 CD (vì AB //CD).
Ta có MA = MB và MC = MD (đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi cung căng dây). Suy ra MC - MA = MD - MB hay AC - BD.
Nhận xét : Bài tập này chính là định lí bổ sung trong phần tóm tắt kiến thức.
14. Giải (h.25)
Ta có MA - MB suy ra MA = MB. Mặt khác, OA = OB nên đường thẳng OM là đường trung trực của AB, do đó HẠ - HB.
Mệnh đề đảo sẽ đúng nếu có thêm điều kiện : dây không qua tâm.
Thật vậy : HA = HB, OA = OB nên OH là đường trung trực của AB, suy ra MA = MB và MA - MB .
Ta có MA = MB suy ra MA - MB. Mặt khác OA = OB nên đường thẳng OM là đường trung trực của AB, suy ra MN ± AB.
Hình 25
Đảo lại, nếu MN ± AB thì HA = HB.
Mặt khác, OA = OB nên đường thẳng OH là đường trung trực của AB, suy ra MA = MB và MA = MB.
D. Bài tập luyện thêm
Trong hình 26 biết AB // CD. Chứng minh rằng tứ giác ABDC là hình thang cân.
Chứng minh định lí: Nếu một tiếp tuyến song song với một dây thì tiếp điểm chia đôi cung cãng dây.
Cho đường tròn (O ; R) đường kính AD. Vẽ cung tròn (D ; R) cắt đường tròn (O) tại B và c. Chứng minh rằng A ABC là tam giác đều.
> Hướng dẫn - đáp sô'
(h.27). Ta có AB // CD nên AC = BD, suy ra
AC + AB - BD + AB hay BAC = ABD.
Do đó BC = AD.
Tứ giác ABDC có hai cạnh đối song song nên là hình thang. Hình thang này có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.
(h.28). Giả sử xy là tiếp tuyến của đường tròn và AB // xy. Ta phải chứng
minh MA = MB. Thật vậy OM ± xy (tính chất của tiếp tuyến).
Suy ra OM 1 AB (vì AB // xy). Do đó
MA = MB (đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi cung căng dây).
(h.29). Tứ giác BOCD có bốn cạnh bằng nhau (= R) nên là hình thoi.
Vậy OD 1 BC và HO = HD = y.
Xét AHOC vuông tại H, ta có HO = ^-OC nên HCO = 30°.
ABOC cân, HCO= 30° nên BOC = 120° do đó BC = 120°.
Ta có BAC = 360° - 120° = 240°.
Vì AD 1 BC nên sdAB = sdAC = 240° : 2 = 120°.
Hình 27
Vậy AB = AC = BC.
Suy ra AB = AC = BC.
Do đó AABC là tam giác đều.
Nhận xét : Bài toán trên cho ta một cách dựng tam giác đều nội tiếp một đường tròn cho trước.