Giải toán 9 Bài 9. Độ dài đường tròn, cung tròn

§9. Độ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN A. Tóm tắt kiến thức
Công thức tính độ dài đường tròn
c = 2ĩĩR hoặc c = mỉ trong đó R ỉ à hán kính ; d là dường kính.
Công thức tính độ dài cung tròn
(R là bán kính, n là sô'đo cung).
nRn
B. Ví dụ
Hình chữ nhật ABCD có AB = 2 5/3 cm ; BC = 2cm.
Tính chu vi của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật.
Tính độ dài cung nhỏ BC.
> Giải (h. 115)
a) Trong hình chữ nhật, giao điểm o của hai đường chéo là tâm của đường tròn ngoại tiếp.
Ta có AC2 = AB2 + BC2 = (2^3) + 22.
Vậy AC2= 16, suy ra AC = 4 (cm).
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = 2cm. Chu vi đường tròn ngoại tiếp là :
c = 2tiR = 71.4 = 471 (cm).
b) Tam giác BOC có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, do đó BOC = 60°,
sdBC =60°.
Độ dài cung nhỏ BC là :
, 7i.Rn	71.2.60 271 z
/ = -.	• = —- (cm).
180	180	3
Nhận xét:
Để tính được độ dài của một đường tròn, yếu tố duy nhất cần xác định là bán kính R.
Để tính được độ dài cung tròn, ngoài bán kính của đường tròn ta cần biết thêm số đo của cung tròn đó.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Cột 2 : 5 ; 31,40. Cột 4: 1,50; 9,42. Cột 6 : 4 ; 8.
b) 2041mm.
Đáp số
Cột 1 : 20 ; 62,80 ; Cột 3 : 6; 18,84; Cột 5 : 3,18 ; 6,37 ;
Đáp số
a) 2,09dm ;
Cột 2 : 40,8cm ; Cột 4 : 4,4cm ;
Đáp số Cột 1 : 15,7cm ;
Cột 3 : 57° ;
Cột 5 : 21,lcm.
Hình 116
Giải (h. 116)
Ta đặt AB = 2a ; BC = 2b thì AC = 2(a + b). Độ dài nửa đường tròn đường kính AB là :
Cl = 4 71.2a = 7ta. (1)
1 2
Độ dài nửa đường tròn đường kính BC là : c9 = ị 7ĩ.2b = Tĩb. (2)
Độ dài nửa đường tròn đường kính AC là :
Co =4 .7T.2(a + b) = 7t(a + b) = 7ia + 7ib. (3) 2
Từ(l), (2), (3)suyraC1+c2 = c3. •
Nhận xét: Việc đặt AB = 2a ; BC = 2b làm cho biểu thức tính độ dài các nửa đường tròn được gọn gàng hơn là đặt AB = a, BC = b.
. 10ĩI-t672	Z..A„„Ấ
Hướng dẩn : — o « 19 (vòng).
71.0,88 -
lữ. Hướng dẫn:
• Cách vẽ các hình :
Hình 117	Hình 118	Hình 119
Hình 117 . Vẽ đường tròn có tâm là tâm hình vuông, bán kính 2cm.
Hình Ị18 : Vẽ nửa đường tròn có tâm là tâm hình vuông, bán kính 2cm. Vẽ tiếp hai cung "phần tư" có tâm là hai đỉnh hình vuông và cùng bán kính 2cm.
Hình 119 : Vẽ bốn cung "phần tư" có tâm là bốn đỉnh hình vuông, bán kính 2cm.
Tính chu vi mỗi hình :
Mỗi hình gồm bốn cung "phần tư" ghép lại thành một đường tròn có đường kính 4crra.
Chu vi của mỗi hình là : c = 71.4 « 12,56 (cm).
71. Hướng dẫn (h.120) :
Độ dài đường xoắn AEFGH là :
/ = -ị .2tt( 1 + 2 + 3 + 4) = 571 (cm). 4
72. Giải (h. 121)
200.360
540
„	, , 7iRn 27iRn
Ta có / = ——— = -	.
180	360
Thay số : 200 = "7-0'n => n = 360
Vậy AOB = sđAB ~ 133°.
73. Hướng dãn
_ .	.	_ c
Từ công thức c = 27ĩR, suy ra R = —.
271
Đáp sô': 6369km.
->„D„	4(10110.20--
I = A'l .	.	;;; 60 , 2224 (km).
180	360	360
Nhận xét: Trong công thức
7iRn
Tiõ"
có 7ĩR là độ dài của một nửa đường tròn.
Trong đề bài có cho độ dài của cả đường tròn nên ta biến đổi
để có điều kiện thay thế 2nR = 40 OOOkm.
75. Giải (h. 123)
Xét đường tròn (O') ta có o =	(quan
hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm). Ta đặt
o = n° thì MO'B = 2n° . Suy ra sđMA = n° ;
sdMB = 2n°.
ĩĩ.OM.n
7iRn 2nRn
180
360
Ta có = MA
^MB
180°
71.0'M.2n
180°
Tù(l)và(2)suyra/ís=/tĩỉ
7ĩ.OM.n
180°
(1)
(2)
Hình 123
76. Giải (h.124)
Gọi bán kính của cung tròn là R. Ta có
= 7lR'\-- = 2R?> 2R (!) (vì T > 1)- AB 180	3	3
Độ dằi của đường gấp khúc AOB là
/ = R + R = 2R.	(2)
Từ (1) và (2) suy ra > I.
A
Hình 124
D. Bài tập luyện thêm
1.
2.
3.
>
1.
Cho hình thoi ABCD có AB = AO = 3cm. Vẽ đường hòn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tính độ dài của đường tròn này.
Tính độ dài của cung BAC.
So sánh độ dài của cung OmB với độ dài của cung
AB (h.125).
Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Vẽ các
nửa đường tròn đường kính AD và BC ra phía ngoài
của tứ giác. Biết AB + CD = 10cm. Tính tổng các độ
dài của hai nửa đường tròn này.
Hướng dẫn — Đáp sô
(h.126).
Ta có OB = oc - AB = AO = 3cm. Do đó đường
tròn ngoại tiếp AABC là đường tròn (O ; 3cm).
Độ dài đường tròn này là : c = 271.R = 6ĩi (cm).
Tam giác AOB, AOC đều.
Do đó ÃÕB = Ấõc = 60°, suy ra BOC = 120°,
BAC = 120°.
Độ dài của cung BAC là :
Hình 125
Hình 126
2.
7iRn 71.3.120
180 180 Ta đặt OA - OB = 2a.
Độ dài của cung OmB là :
= 2 •7l--a = na (cm)-
= 271 (cm).
Tổng độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AD và BC là :
c = ị n. AD + ị 7I.BC = ị 7ĩ( AD + BC)
2 2 2
= 4 71.10 = 571 (cm).
2
Nhận xét : Qua bài giải trên ta thấy một tính chất của tứ giác ngoại tiếp là : Tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.