Giải toán 9 Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

§4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI số
Tóm tắt kiến thức
Muốn giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại sô, ta làm như sau :
Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một sô' thích hợp sao cho các hệ sô của một ẩn nào đó trong hệ phương trình là những số bằng nhau (hoặc đối nhau). Bước 2. Trừ (hoặc cộng) vế với vế hai phương trình dể được một phương trình một ẩn. Thay thế một trong hai phương trình của hệ bởi phương trình một ẩn ta được một hệ mới.
Bước 3 Giải phương trình một ẩn ta tìm được giá trị của ẩn đó. Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó vào phương trình còn lại của hệ ta tìm được giá trị tương ứng của ẩn kia. Cặp giá tri tương ứng vừa tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ví dụ
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
4x - 5y = 22	(1)	'
6x + 7y = 4	(2)
bằng phương pháp cộng đại số.
❖ Phân tích. Nếu làm cho các hệ. số của ẩn y đối nhau thì ta phải nhân hai vế của phương trình (1) với 7, của phương trình (2) với 5.
Để làm cho các hệ số của ẩn X bằng nhau ta có thể nhân hai vê' của phương trình (1) với 3 và của phương trình (2) với 2. Cách làm thứ hai đơn giản hơn.
> Giải. Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 ; nhân hai vê' của phương trình
(2) với 2, ta được hệ
Từ phương trình (5) suy ra y = -2.
Thay y = -2 vào phương trình (4), ta được : 12x +14.(-2) - 8 hay 12x = 36.
Do đó X = 3.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (3 ; -2).
Lưu ý. Có thể trình bày bài giải bằng một dãy những hệ phương trình tương đương như sau :
4x-5y = 22 fl2x-15y = 66	f-29y =58	ly =-2
đương như sau :
4x - 5y = 22
6x + 7y = 4
_/y = -2 4
12x + 14y = 8 y = -2
12x + 14.(-2) = 8
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
'5x-4y = 15
12x-28 = 8
-29y = 58 12x + 14y = 8 y =-2 12x = 36
 •>
y = -2 12x + 14y = 8 X = 3
ty = -2.
> Giải.
10x-8y = 13
5x - 4y = 15 10x-8y = 13. 10x-8y = 30 10x-8y = 13
 5
Ồx-Oy = 17 lOx -8y = 13.
Vì không có giá trị nào của X và y để Ox - Oy = 17 nên phương trình Ox - Oy = 17 vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
3	4
Ị
X - y - 1 	5_
X - y - 1
Phân tích. Nếu khửưnẫu của các phương trình trong hệ ta sẽ được một hệ phương trình không phải là hệ bậc nhất. Ta chưa biết cách giải hệ phương
trình như thế. Song nếu ta đặt ẩn phụ :
1
và V =
x+y+3	x-y-1
ta sẽ được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u và V.
Giải hệ này ta tìm được u và V. Từ đó ta lại được hệ bậc nhất hai ẩn X và y. 1 . 1
> Giải. Đặt u =
và V =
ta được :
3u -4v = -~7 2
n.. , c..	7
2u + 5v = 4-
2
6u - 8v = -1 4u + lOv = 7
12u-16v = -2 ■
 V _	_ „	 <i
12u + 30v = 21
46v = 23 12u + 30v = 21
I2u+ 30.-7 = 21 2
Bây giờ ta có hệ
Giải hệ này :
X + y + 3 = 2 X - y - 1 = 2
'x = 1
1-y = 3
 5
V = —
2
I2u = 6
hay
X + y + 3 = 2 x-y-1 = 2.
x-y-1	2
X + y = -1 x-y = 3 X = 1
2x = 2 x-y = 3
[y = -2.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
20. Hướng dẫn : a) Cộng vế với vế hai phương trình.
Trừ vế với vế hai phương trình.
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2 rồi trừ vế với vế hai phương trình.
Nhân hai vê' của phương trình thứ nhất với 3, haị vê' của phương trình thứ hai với 2 rồi trừ vế với vê' hai phương trình.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ vê' với vê' hai phương trình.
Đáp số: a) (x ; y) = (2 ; -3); b) (x ; y) = ị I; 1 I ; c) (x ; y) = (3 ; -2);
d) (x ; y) = (-1 ; 0); e) (x ; y) = (5 ; 3).
21. Giải.
a)
x72 - 3y = 1 2x + y 72 = -2
1 + 72
2x - 3ự2y = 71 2x + y V2 = -2 1 + 72
472y = -2 - 72 2x + yy/2 - -2
b)
2x + y72 = -2
5x73 + y = 272 xTó — y72 = 2
 5
76
xTó - y\Í2 - 2
4
72-6
8
5x76 + y72 = 4 xTó - y72 = 2
76
,^.^-yV2=2 . 6
6x76 = 6 xTó - y72 = 2
76
-y72 = 1
76
72
Hướng dẫn : a) Nhân hai vê' của phương trình thứ nhất với 3, của phương trình thứ hai với 2 rồi cộng vế với vế.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 rồi cộng vê' với vế.
Nhân hai vê' của phương trình thứ hai với 3 rồi trừ vê' với vế.
Đáp số: a) (x ; y) = ụl; -y-j ; b) Vô nghiệm ; c) Vô sô' nghiệm.
Hướng dán : Trừ vê' với vế.
..A_ f 7^2-6 .	72 ì
Đáp sô : (x ; y) =	; - -y-I.
Hướng dẫn : Trừ vê' với vế.
24. Giải, a)
2(x + y) + 3(x - y) = 4 (x + y) + 2(x-y) = 5
5x - y = 4 3x - y = 5
2x = -1 3x - y = 5
 í
X = —
2
13
y 2'
Lưu ý. Cũng có thế giải băng cách đặt ấn phụ :u = x + y, V = X - y.
b)
2(x - 2) + 3(1 + y) =-2 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3
2x + 3y = -l 3x - 2y = 5
4x + 6y = -2 [9x-6y = 15
13x = 13 3x - 2y = 5
 í
X = 1 [y = -l.
25. Giải. Đa thức P(x) = (3m - 5n + l)x + (4m - n - 10) = 0Vx khi và chỉ khi :
3m - 5n + 1 = 0 4m - n - 10 = 0 17m = 51
3m - 5n = -1
4m-n = 10
3m - 5n = -1 20m - 5n = 50
17m = 51	m = 3
 ( _<_
4m - n = 10 [n = 2.
26. Hướng dẫn : Nếu một điểm nằm trên đồ thị của một hàm số thì toạ độ của điểm đó phải thoả mãn hàm số đã cho. Chẳng hạn :
a) Vi đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; -2) và B(-l ; 3) nên
—2 — 2a + b 3 = a.(-l) + b
hay
2a + b = -2 -a + b = 3.
Giải hệ phương trình này với hai ẩn a và b ta được : (a ; b) =
Đáp số: b) (a ; b) = I — ; 0
; c) (a ; b) = I -ị ; Ỷ I ; d) (a ; b) = (0 ; 2).
27. Giải, a) Đặt u =—, V =—, ta được hệ phương trình (I) X y
u - V = 1 3u + 4v = 5.
(I)»
4u - 4v = 4 3u + 4v = 5
7u = 9 3u + 4v = 5
9
u = — 7 2
V = —. 7
1	1	,	 7 _	7
Thay u = —, V = — ta được X = —, V = —.
X	y	9	2
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x ; y) = I I •
b) Đặt u =—, V = —ì-y ta được : (II)
y-1
9 2, u + V = 2
2u-3v = 1.
(II)«
2u + 2v = 4 2u - 3v = 1
u + V = 2 5v = 3
 s
3
V = —
5
7
u = —. 5
X - 2 = -2- 7
-	7
b)
V3x - 2y = 5 (l-V3)x + 3y = 2a/3-5.
Thay u =—, V = ——- ta được
X - 2 y - 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x ; y) =
D. Bài tập luyện thêm
Giải hệ phương trình : 3x - 2y = V2 - 5
a) -	'	;
[2x + 5y = 7V2 + 3
Tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho nó có nghiệm là (3 ; -2) và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x - 1.
Hãy lập một phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng đi qua điểm M(-4 ; 3) và cắt Ox tại điểm N có hoành dộ là 2.
4. Giải hệ phương trình
>, Hướng dẫn - Đáp sô'
1. Giải.
a)
3
2 .
X + 3y —
1 2x - y + 2
2
3
X + 3y -
1 2x - y + 2
5
19
3x - 2y = V2 - 5
6x - 4y = 2V2 - 10
2x + 5y = 7V2 + 3
<%,	ỷ <
6x + 15y = 21^2 + 9
19y = I9V2 4-19
y = V2 + 1
6x + 15(72 + 1) = 2172+ 9
 Á
y = V2 + 1 = 72-1.
b)
73x - 2y = 5
(1 - 5/3 )x + 3y = 2V3 - 5
3V3x-6y = 15 (2 + 73 )x = 4a/3 + 5
x = 3V3-2 7 = 2-73.
373x-6y = 15 (2-273)x + 6y = 473-10
373x-6y = 15
X = V ■= (473 + 5)(2 - 73) = 373 - 2 2 + 73
Giải. Vì tập nghiệm của phương trình cần tìm là đường thẳng song song với đồ thị y = 3x - 1 nên đường thẳng này cũng có phương trình là y = 3x + b. Vì phương trình này cỏ nghiệm là (3 ; -2) nên -2 = 3.3 + b. Suy ra b = -11.
Vậy phương trình cần tìm là y = 3x - 11 hay 3x - y = 11.
Giải. Vì đường biểu diễn tập nghiệm của phương trình cần tìm đi qua điểm M(-4 ; 3) và cắt trục Ox nên nó cắt cả hai trục toạ độ. Do đó nó là đồ thị của hàm số y = ax + b. Vì M(-4 ; 3) và điểm N(2 ; 0) thuộc đồ thị nên
3 = a.(-4) + b 0 = a.2 + b
hay
-4a + b = 3 2a + b = 0.
1
Giải hệ phương trình này ta được : (a ; b) = ị —; 1 ].
Vậy phương trình cần tìm là y = “ X + 1 hay X + 2y = 2.
Giải. Đặt u =
X + 3y -1 ’ 2x-y + 2
ta được hệ phương trình
(I)
3u + 2v = -ị 5
19
2u - 3v =	.
20
3
■ 13
9u + 6v =
38
13u = — 10
 < 38
4u - ốv =
4u -6v =
20
í
20
Ta có : (I) 
u =
10
v 4'
Thay u =
X + 3y - 1 ’ 2x-y + 2
ta được hệ phương trình
hay
X + 3y = 11 2x - y = -6.
X + 3y - 1 = 10 2x - y + 2 = -4
Giải hệ phương trình này ta được (x ; y) = (-1 ; 4).