Giải toán 9 Bài 3. Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu

§3. HÌNH CẦU. DIỆN TÍCH MẶT CẨU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU A. Tóm tắt kiến thức
1. Hình cầu
A7?z' quay nửa hình tròn tâm 0 hán kính R một
vòng quanh đường kính AB cô' định thì được
A
một hình câu (h.ỉ67).	, /
\ \
\ \
2. Cát hình cầu bó'i một mặt phảng	/
\ \
\	\
\	\
Khi cắt mặt cầu hán kính R hởi một mặt phẳng	1
r0 ; )
ta dược một đường tròn :	\
- Đường tròn đó có hán kính R nếu mặt phẳng	\
/ /
/ /
/ /
đi qua tâm (gọi là dường tròn lớn).
/ /
/ y
- Đường tròn dó có hán kính hé hơn R nếu mặt
B
phang không qua tâm.
Diện tích mạt cầu
5 = 4ĩĩR- hay s - 7ĩd2 (d là dường kính).
Thể tích hình cầu
4 ỉ v= —7IR.
3
Hình 167
B. Ví dụ
Một hình cầu có diện tích bê mặt là 1447tcm .
Tính độ dài của đường tròn lớn.
Tính thể tích của hình cầu đó.
> Giải
a) Từ công thức tính diện tích mặt cầu s = 4tiR2 suy ra R = 4-7- ■ 4n
Vậy bán kính của hình cầu là R =
Ịỉ44ti
4tĩ
= 6 (cm).
Độ dài đường tròn lớn là c = 2ĩĩR = 2.71.6 = 1271 (cm), b) Thể tích của hình cầu là
V = 4tiR3 = ị.71.63 = 28871 (cm3).
3
Nhận xét: Từ công thức s = 471R2 và V = -Ệ 7tR3 ta suy ra diện tích mặt cầu tỉ
lệ thuận với bình phương bán kính, thể tích hình cầu tỉ lệ thuận với lập phương bán kính hình cầu.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
30. Trả lời :
Chọn (B).
31. Trả lời :
Dòng 1
: 0,367imm2 ; 154,267tdm2 ; 0,32Ũ7tm2 ; 400007tkm2 ; 1447thm2 ; 100007ĩdam2.
Dòng 2
: O,O3Ó7tmm3 ; 319,3l7tdm3 ; 0,0307tm3 ; 133333371km3; 2887thm3; 166667dm3.
32. Giải
Diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại gồm diện tích hai nửa mặt cầu bán kính r và diện tích xung quanh hình trụ bán kính đáy là r và chiều cao là 2r.
Diện tích cần tìm là :
s = 47ĩr2 + 27tr.2r = 8rtr2 (cm2).
33. Trả lời :
34.
35.
37.
Cột 1 : 134,08mm ; 5725,12mm2 ; 40743,85mm3. Cột 2 : 7,32cm ; 168,25cm2 ; 205,26cm3.
Cột 3 : 20,41cm ; 132,67cm2 ; 143,72cm3.
Cột 4 : 125,60mm ; 5024mm2 ; 33493,33mm3.
Cột 5 : 191,54mm ; 11683,94mm2 ; 118786,72mm3. Đáp số: 379,94m2.
Hướng dấn : (h.168) Thể tích của bồn chứa bằng tổng thể tích của một hình trụ có bán kính đáy là 0,9m và chiều cao 3,62m và thể tích của một hình cầu bán kính 0,9m.
Đáp số: 12,26m3.
Giải (h.169)
Vì h + 2x = AA' nên h + 2x = 2a.
Diện tích bề mặt của chi tiết là :
s = 2ĩtxh + 47IX2 = 2nx(h + 2x) = 4ĩiax (cm2).
Thể tích của chi tiết máy :
V = 7TX2h + 4 7IX3 = 2nx2(a - x) + — 7ĨX3 3	3
2	2	3 z 3,
= 2nax - — 71X (em').
3
Giải (h.170).
Hình 169
Ta có : MON = 90° (hai tia phân giác của hai góc kề bù).
APB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Dễ thấy tứ giác OPNB nội tiếp, suy ra Ni = Bi (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PO).
Do đó AMON co AAPB (g.g).
Xét AMON vuông tại o có OP là đường cao, nên. OP2 = PM.PN, suy ra R2 - AM.BN (vì AM = PM ; BN = PN).
Nếu AM= ệ thì từ AM.BN = R2, suy ra BN = 2R.
Ta có MN = PM + PN =	+ 2R = ị R.
fMNf _
2
1 ab )
L 2R )
25
16
2 2
Mặt khác AMON co APB => ^2^- Sapb
Thể tích hình cầu là V = 4 TtR3.
3
D. Bài tập luyện thêm
Một quả bóng đá có thể tích 9727icm3. Tính diện tích bề mặt của nó.
Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng m2) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính băng m’). Tính độ dài đường tròn lớn.
Một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Biết diện tích xung quanh hình trụ là lOOĩrcm2. Tính thể tích hình cầu.
> Hướng dẫn - Đáp số
V = 4 TĩR3 =>R =	= I3'972n = 7729 = 9 (cm).
3	V 471 V 4ĩi
Diện tích bề mặt của quả bóng là : s = 4tiR2 = 4.7Ĩ.92 = 32471 (cm2).
Theo đề bài ta có 4tiR2 = 4 7ĩR3 => R = 3 (m).
3
Độ dài đường tròn lớn là : c = 27ĩR = 2.71.3 = 6ti (m).
(h. 171). Vì hình cầu nội tiếp hình trụ nên bán kính đáy hình trụ bằng bán kính hình cầu, giả sử là R.
Chiều cao hình trụ là 2R. Diện tích xung quanh hình trụ là Sxq = 27iRh = 27ĩR.2R = 47ĩR2.
Ta có 47ĩR2 = 1007Ĩ.
Vậy R = 725 = 5 (cm).
Thể tích hình cầu là
w_ 4 d3_ 50071	3
Hình 171
V = — 7ĩR =	■ — (cm ).
3	3