Giải bài tập Toán 11 Bài 1. Phép biến hình và phép dời hình
Chương I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHANG Bài 1. PHÉP BIỂN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH KHÁI NIỆM BIẾN HÌNH Phép biến hình Định nghĩa: Quy tắc đặc trưng tương ứng mỗi điểm M với một điểm M’ xác định trong cùng một mặt phẳng được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng đó và thường được kí hiệu là f. Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M và M được gọi là tạo ảnh của điểm M’ qua phép biến hình đó. Ta viết M’ = f(M) và nói rằng f biến điểm M thành điểm M’. Phép biến hình biến mỗi điếm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. Giả sử H’ là tập hợp các ảnh của các điểm thuộc hình H. Ta gọi hình H’ là ảnh của hình 11, hình H là tạo ảnh của hình H’ qua phép biến hình f và viết là H’ = f(H) Phép dời hình Định nghĩa: Là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điếm bất kỳ. Nói cách khác, với bất kì hai điểm M, N và ảnh M’, N’ của chúng qua một phép dời hình, ta luôn luôn có M’N’ = MN. Tính chất này còn được gọi là tính bảo toàn khoảng cách. Do vậy, phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách. Người ta còn gọi nó là phép biến hình đẳng cự, hay vắn tắt là phép đẳng cự. CÁC TÍNH CHẤT Định lí 1 Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điếm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. Hệ quả Phép dời hình biến đường thắng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường tròn thành đường tròn bằng nó, góc thành góc bằng nó. Ví dụ. Chứng minh rằng qua phép dời hình f: Trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’. Trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác A’B’C. Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC lần lượt biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác A’B’C’. Giải Gọi D là trung diêm đoạn thẳng BC thì phép dời hình f biến điểm D thành trung điểm D’ của đoạn thắng B’C’, và vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A’D’ của tam giác A’B’C’. Đối với hai trung tuyến còn lại cùng thế. Vì trọng tâm tam giác là điểm gặp nhau cúa các đường trung tuyến nên trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’. Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (II e BC). Khi đó qua phép dời hình f, điếm H biến thành điểm H’ e B’C’, tam giác ABH biến thành tam giác A’B’ir nên hai tam giác đó bằng nhau. Suy ra góc A’B’H’ vuông tại H’, vậy A’H’ là đường cao cua tam giác A’B’C’. Đối với các đường cao khác cũng thế. Vì trực tâm tam giác là điểm gặp nhau của các đường cao nên trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác A’B’C’. Nếu o là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì OA = OB = oc nên nếu điểm o biến thành điểm O’ thì O'A’ - O’B’ = O’C’ Do đó O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì I biến thành điểm r sao cho AT và BT lần lượt là phân giác của góc A’ và B’ (do phép dời hình biến các góc bằng nhau thành các góc bằng nhau), suy ra T là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’.