Giải bài tập Toán 11 Bài 5. Phép chiếu song song - Hình biểu diễn của một hình không gian

biến thành tam giác vuông ABC.
Bài 5. PHÉP CHIỂU SONG SONG - HÌNH BlỂU DlỄN CỦA MỘT HÌNH
TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
I. Phép chiếu song song
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng A cắt (P). Với mỗi điểm M trong không gian3, 
đường thẳng đi qua M và song song với A sẽ cắt (P) tại M’ xác định.
Điểm M’ gọi là hình chiếu song song của M trên (P) theo phương A.
Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng chiếu.
Định nghĩa
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên (P) được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương A.
Nếu H là một hình nào đó thì hình chiếu M’ của tất cã các điếm M thuộc H sẽ tạo thành một hình H’ nằm trên (P). Hình H’ được gọi là hình chiếu của hình H qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương A.
Dưới đây ta chỉ xét hình chiếu của đường thẳng d trong trưừng hợp d không song song hoặc trùng với A.
II. Các tính chất của phép chiếu song song.
Tính chất 1
Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng.
Hệ quả
Hình chiếu song song của một đoạn thảng là một đoạn thẳng, của một tia là một tia.
• Tính chất 2
Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
• Tính chất 3
Phép chiếu song song không làm thay đổi ti số của hai đoạn thẳng song song hoặc hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng, nghĩa là:
Nếu AB và CD là hai đoạn thắng song song (hoặc cùng nằm trên một đường thẳng) có hình chiếu song song trôn mp(P) là A’B’ và C’D’ thì A'B' _ AB
Ỡữ “ CD
Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H lên một mặt phẳng theo một phương chiêu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiêu đó.
Hình biểu diễn của các hình thường gặp
❖ Tam giác: Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thế coi là hình biểu diên của một tam giác tùy ý cho trước (có thế là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông v.v...)
Hình bình hành: Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thế’ coi là hình biếu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thế là hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi...)
Hình thang: Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tí số độ dài hai đáy của hình biểu diễn bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình đã cho.
❖ Hình tròn: Người ta thường dùng hình elíp đế biểu diễn hình tròn.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng trọng tâm G cùa tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’, trong đó A’B’C’ là hình chiếu song song của tam giác ABC.
Giải
M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC,
ÀG ta có G £ AM và ™ = 2
GM
M’, G’ lần lượt là hình chiếu song song theo phương (d) của M và G lên mp(P), ta có:
M’ là trung điểm của B’C’
G’ e A’M’ (vì G e AM)
„ A'G' = 9
G'M'
Vậy G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.
Bài 2. Cho hai điểm A và B ở ngoài mặt phẳng (a), giả sử đường thẳng AB cắt (a) tại điểm o. Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu song song của A và B trên (a) theo phương của đường thẳng d cho trước nào đó. Ba điểm o, A’, B’ có thẳng hàng không? Vì sao?
Hãy chọn phương d sao cho:
A’B’ = AB	b) A’B’ = 2AB
Giải
Ba điểm o, A, B thẳng hàng, theo định lý thì biến thành ba điểm o, A’, B’ thẳng hàng theo một phép chiếu song song
Trong (a) kẻ đường thẳng a qua 0, trên a lấy điểm A’.
Điểm OA’ = OA; chọn phép chiếu song song với phương chiếu AA’ => đpcm.
Nếu OA’ = 20A, chọn phương chiếu song song với AA’ => đpcm
Bài 3. Trong mặt phẳng (cc) cho tam giác ABC bất kì. Chứng minh rằng có thể xem ABC là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.
Giải	A’
Chọn điểm A’ sao cho:
A' Ễ mp(a)
A'BC là tam giác đều
Nôi A và A’.
Vậy khi chọn phương chiếu (d) // AA’
thì tam giác ABC là hình chiếu song song (theo phương (d)) của tam giác đều A’BC lên mặt phẳng (a).
Bài 4. Hãy chứng tỏ rằng có thể chọn phương chiếu và mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song của một tứ diện là một
hình bình hành, một hình tam giác.
Giải
Giả sử A’B’C’D’ là hình chiếu song song cúa tứ diện ABCD. Gọi p là trung điểm của cạnh AB và (ỉ là trung điểm của cạnh CD. Muốn cho A’B’C’D’ là hình bình hành ta chí cần chọn phương chiếu sao cho P’ và Q’ là hình chiếu của p, Q trùng nhau.
Như vậy, nêu chọn phương chiếu l là phương của đường thẳng PQ và mặt phẳng chiếu (a) cắt l thì hình chiếu song song của tứ diện ABCD là hình bình hành A’C’B’D’ (Hình 101). Tóm lại ta có thể chọn:
Phương chiếu l là phương của một trong ba đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện của hình tứ diện.
Mặt phẳng chiếu (u) là mặt phẵng tùy ý cắt đường thẳng l.
Muốn được hình chiếu song song của một tứ diện là một tam giác ta chỉ cần chọn phương chiếu sao cho trùng với phương của cạnh tứ diện. Như vậy, ta có 6 cách lựa chọn khác nhau và khi đó ta sẽ có hai đỉnh của tứ diện có chung một hình chiêu.
Bài 5. Trong mặt phẳng («) cho một tam giác ABC bất kì. Chứng minh rằng có thế xem ABC là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.
Giải
Cho tam giác ABC bất kì nằm trong mặt phẳng (a).
Gọi ([3) là mặt phắng qua BC và khác với (a). Trong (|3) ta vẽ tam giác đều BCD.
Vậy ta có thế xem ABC cho trước là hình chiếu song song của tam giác đều DBC theo phương chiếu DA lên mặt phẳng (a)