Giải bài tập Toán 11 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm 0. Tìm ảnh của tam giác A0F.
Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB.
Qua phép đôi xứng qua đường thẳng BE.
Qua phép quay tâm o góc 120°.
Giải
Ánh của tam giác AOF:
Qua phép tịnh tiến T^jj là tam giác
BCO vì:
AB = Õc = FO
Qua phép đối xứng trục Đbe là tam giác COD vì:
A và c đối xứng nhau qua đường thẳng BE;
o bất biến trong phép đổì xứng trục Đbe-
F và D đối xứng nhau qua đường thẳng BE.
Qua phép quay Q(0120) là tam giác EOD vì: Q(0120O), biến:
(OE = OA
• A thành E do
• A thành E do ■
(OA, OE) = 120°
• o thành o
F thành D do ■
OD = OF
• F thành D do ■
(OF, OD) = 120°
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-l; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của A và d.
Qua phép tịnh tiến theo vectơ V = (2; 1);
Qua phép đối xứng trục Oy;
Qua phép đối xứng qua góc tọa độ;
Giải
B’
dạng:
Qua phép quay tâm o góc 90°.
b. Ta thấy d qua A và B (0; -1)
Đoy biến A thành A’(l; 2), biến B thành B (0; -1) Vậy d’ là đường thẳng A’B có phương trình:
Đo l iến A thành A’(l; -2), biến b thành B’(0; 1) Vậy d’ là đường thẳng A’B’ có phương trình:
Gọi M(-l; 0) và N(0; 2) lần lượt là hình chiếu của A(—1; 2) trên Ox, Oy.
GBT Hình học 11 - CB	29 z
Q(O90O)biến N thành N’(-2; 0), biến A thành A’, biến M thành B(0; -1).
Vậy Q(O90»)biến hình chữ nhật ON AM thành hình chữ nhật ON’A’B. Do đó A’(-2; -1) d qua A và B, Q(OgflO)biến A thành A’(-2; -1), biến B thành B’(l; 0)
Vậy Q(0 9C)Ũ) biến d thành d’ qua hai điểm A’, B’
Do đó phương trình d’ là: * + 2 = y +1 x-3y-l = 0
1+2 0+1 J
Bài 3.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm 1(3; -2), bán kính 3.
Viết phương trình của đường tròn đó.
Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ V = (-2; 1).
Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng trục Ox.
Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng qua gốc tọa độ.
Giải
Phương trình đường tròn: (x - 3)2 + (y + 2)2 = 9
Trong phép tịnh tiến theo vectơ V = (-2; 1) thì điểm I biến , T, , , [x = 3-2 = l
thành I có tọa độ: I (1; -1)
v [y = -2 + l = -l
Vậy phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (I; 3) trong phép tịnh tiến theo vectơ V = (-2; 1) là (x - l)2 + (y + l)2 = 9.
Qua phép đối xứng trục Ox, điểm 1(3; -2) biến thành điểm I’(3; 2). Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x - 3)2 + (y - 2)2 = 9.
Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ, điểm 1(3; -2) biến thành điểm I’(-3; 2) nên phương trình đường tròn cần tìm là:
(x + 3)2 + (y - 2)2 = 9.
Bài 4.
Cho vectơ V, đường thẳng d vuông góc với V. Gọi d’ là ảnh của dqua phép tịnh tiến thep vectơ V. Chứng minh rằng phép tịnh tiến
2
theo vectơ V là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’.
Hướng dẫn. Dùng định nghĩa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.
Giải
	»
■••••■■»	•♦••X-
II	M,
?;-x	
K M’
d’
M———>M1; ta có
MM1 = 2HMj
MMj 1 d
• Mx	Đđ’—>M', ta có ■
M1M' = 2M1K
MxKld'
Ta có MM1+M1M' = 2HM1+2M1K = 2(HM1+MiK)
= 2HK = 2.ịv — ví vì HK = ịv
2	2
Vậy phép tịnh tiến Tụ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đốì xứng trục Đd và Đd’, nghĩa là:
M —M'
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi o là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,.DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thảng IJ và phép vị tự tâm B, tĩ số 2.
Giải
Đu biến A thành B, E thành F; o thành o nên biến AAEO thành
ABFO, V(B, 2) biến B thành c, biến F thành c, biến o thành D nên biến ABFO thành ABCD. Vậy phép đồng dạng có được biến AAEO thành ABCD.
Bài 6.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm 1(1; -3), bán kính 2. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm o tỉ sô" 3 và phép đối xứng qua trục Ox.
Giải
1(1; -3) —-^-3I- > J, ta có OJ = 301
Vậy J(3; -9)
=> Phép vị tự V(0; 3) biến đường tròn (I; 2) thành đường tròn tâm J, bán kính R’ = 3R = 3.2 = 6.
J(3; -9) —J1(3; 9)
=> Phép đối xứng trục Đox biến đường tròn (J; 6) thành đường tròn (J15 6)
Phương trình của đường tròn (J15 6) là (x - 3)2 + (y - 9)2 = 36
Vậy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự V(0; 3) và phép đốì xứng trục ĐOX, ảnh của đường tròn (I; 2) là đường tròn có phương trình (x - 3)2 + (y - 9)2 = 36.
Bài 7.
Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm 0 không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định.
Giải
MABN là hình bình hành MN = AB .
Vậy phép tịnh tiến T^g biến M thành N.
Do đó khi M di động trên (O) thì N di động trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến