Giải bài tập Toán 11 Bài 4. Hai mặt phẳng song song
Bài 4. HAI MẶT PHANG song song A. KIẾN THỨC CẦN NAM VỮNG Định nghĩa Hai mặt phảng gọi là song song nhau nếu chúng không có điểm chung. II. Tính chât Định lý 1: Nếu mp(a) // mp(P) thì đường thẳng (a) cz mp(P) đều song song mp(a). •(a) // (P)l , ' ) (a) // a) (a)c=(p)J Định lý 2'. Nếu mặt phẳng (a) ch hai đường thẳng (a), (b) cắt nhau và 1đường này cùng song song với mặt phẳng (p) thì mp(a) // mp(p). • mp(ct) (a), (b) (a) và (b) ícắt nhau => (a) // (p) V/ (0) * Định lý 3: Qua điểm A cho trước không nằm trong mp(a) có một và chỉ một mặt phẳng song song với mp(a). * Hệ quả 1: Nếu đường thẳng (a) song song với mp(a) thì qua (a) có một và chỉ một mặt phẳng song song với mp(a). Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phảng thứ ba thì song song với nhau. Hệ quả 3: Nếu từ một điểm A nằm ngoài mp(a), ta có một đường thẳng (a) song song với mp(a) thì đường .thẳng (a) này nằm trong mp(P) qua A và song song với mp(a). Hệ quả 4: Nếu hai mặt phẳng (a) và (p) song song thì mọi mặt phảng (y) đã cắt mp(a) đều phải cắt mp(p) và hai giao tuyến của chúng song song nhau. Định lý Ta-lét (Thales) trong không gian Định lý 1: Ba mặt phảng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nghĩa là: Ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng a và a’ lần lượt tại A, B, c và A’, B’, C’; ta có: AB BC CA A'B' ■ B'C' - C'A' • Định lý 2: (Định lý Ta-lét đảo) Giả sử trên hai đường thẳng a và a’ lần lượt lấy hai bộ ba điểm (A, B, C) và ,A, w 0.1^^ AB _ BC _ CA (A, B , c ) sao cho . ■■ - ■ = ’ ’ A'B' B'C' CA Khi đó ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ cùng song song với một mặt phẳng, nghĩa là ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ ở trên ba mặt song song. Hình lăng trụ và hình, hộp 1. Định nghĩa Định nghĩa hình lăng trụ * Cho hai mặt phẳng (P) và (P’) song song. Trên (P) cho đa giác AiA2...An. Qua các đỉnh A1, A2, An ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và lần lượt cắt mp(P’) tại A’1, A’2> ..., A’n => Các tứ giác A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, ..., AiAnA’nA’i là các hình bình hành và hai đa giác AiA2...An, A’iA’2...A’n có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. . , _ , Hình hợp bởi các hình bình hành A1A2A’2A’1, AjjAjjA’gA^, AiAnA’nA’i và hai đa giác AiA2...An, A’iA’2...A’n gọi là hình lăng trụ. * Mỗi hình bình hành nói trên (cùng với các điểm trong của nó) gọi là mặt bên của hình lăng trụ. Hai đa giác AiA2...An, A’iA’2...A’n z- - -—' (cùng với các điểm trong của chúng) gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ, các cạnh của chúng gọi là các cạnh đáy. Các đoạn thẳng A1A’1, A2A’2, ...AnA’n gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ. Các đoạn thẳng A1A2, A2A3, ... AnAi, A’1A’2, A2A3,..., A^AÍ gọi là cạnh đáy của hình lăng trụ. Tính chất Các mặt bên là các hình bình hành Hai mặt đáy song song và bằng nhau Các cạnh bên song song và bằng nhau Phân loại: Nếu đáy của hình lăng trụ là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... thì lăng trụ tương ứng được gọi là lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác, ... Hình hộp Định nghĩa: <♦ Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp Hình lăng trụ có đáy và các mặt bên là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ có đáy và các mặt bên là hình vuông được gọi là hình lập phương B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài 1. Trong mặt phảng (a) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, c, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (a). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý. Hãy xác định giao điểm D’ của đưòng thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’). Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành. Giải a) Xác định giao điểm D’ của mp(A’B’C’) AB//CD BB7/CC' . * Ta có d với => mp(ABB’A’) // mp(CDD’C’) mà mp(A’B’C’) cắt mp(ABB’A’) theo giao tuyến A’B’ nên mp(A’B’C’) cắt mp(CDD’C’) theo giao tuyến C’D’ // A’B’. Vậy mp(A’B’C’) cắt d tại D’ sao cho C’D’ // A’B’ (1) d với mp(AMA’). Chứng Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành Chứng minh tương tự, ta có B’C’ // A’D’ (2) * (1) và (2) => A’B’C’D’ là hình bình hành (đpcm) Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. Chứng minh rằng AM song song với A’M’. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M. Tìm giao tuyến d của hai mặt phảng (AB’Ơ) và (BA’Ơ). Tìm giao điểm G của đường thẳngminh G là trọng tâm của tam giác AB’C’. Giải Ta có MM’, BB’, AA’ song song và bằng nhau nên AA’M’M là hình bình hành, từ đó ta có AM // A’M’ Gọi I = A’M n AM’, ta có: I 6 (AB 'C') • lAM’ciAB'C') Vậy I = A’M n (AB’Ơ) Gọi o - AB’ n BA’, ta có: ío e AB'o G (AB'C) [o e BA' => o e (BA'C') =>O G (AB'C')n(BA’C') nên giao tuyến d chính là OC’. Trong mp(AB’C’): C’O n AM’ - G, ta có: [GeCO^Ged [Ge AM'=>Ge(AMM') AAB’C’ có hai trung tuyến C’O và AM’ cắt nhau tại G nên G là trọng tầm của AAB’C’. Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm Gj và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C. Chứng minh G! và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. Gọi o và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho. Giải Ta có: A’B // D’C và D’C c (B’D’C) => A’B // (B’D’G) (1) BD // B’D’ và B’D’ c (B’D’C) => BD // (B’D’C) (2) A’B c (BDA’) và BD <z (BDA’)(3) Từ (1), (2), (3) suy ra: (BDA’) // (B’D’C). Gọi o là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình bình hành ABCD, ta có A’O <z (A’ACC’). Trong mặt phẳng (A’ACC’) hai đường thẳng A’O và AC’ cắt nhau tại điểm Gi- G1 e A’O và A’O c (BDA’) => G1 e (BDA’) Gj 6 AC’ Vậy G1 e AC’ n (BDA’) Tứ giác ACC’A’ là hình bình hành, giao điểm I của hai đường chéo A’C và AC’ là trung điểm của mỗi đường. Xét tam giác AA’C, các trung tuyến A’O và AI cắt nhau tại Gi- Vậy G1 là trọng tâm của AAA’C cho ta chứng tỏ A’O cũng là trung tuyến của ABDA’ nên tỉ số G1 là trọng tâm của tam giác BDA’. Chứng minh tương tự đối với điểm G2. AG, 2 * Vì G1 là trọng tâm của AAA’C nên . AI 3 Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = AC' Từ các kết quả này, ta có: AGi = 2 AC' Chứng minh tương tự ta có: c'G2 = -g AC' 3 Suy ra AG1 = GG2 — G2C’ = — AC’. 3 Thiết diện chính là hình bình hành AA’C’C. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm của đoạn AA1. Gọi (a) và (J3) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phảng (a) cắt các cạnh SB, sc, SD lần lượt tại Bl, Cl, D1. Chứng minh: Bb Cl, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, sc, SD BịB2 = B2B, CjC2 = C2C, D1D2 = D2D. Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD. Giải a) Chứng minh BjjCjjDj lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD (a) /7 (ABCD) (SAB) n (a)=A1B1 > => A1B1 // AB (SAB) n (ABCD) = AB Ta có: => AxBi là đường trung bình của tam giác SAB => Bi là trung điểm của SB (đpcm) Chứng minh tương tự ta cũng được: cx là trung điểm của sc Dx là trung điểm của SD. b) Chứng minh B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D. (a) //(p) (vì cùng song song với mp(ABCD)) ■ AjBj // a2b2 (SAB) n (a)=A1B1 (SAB) n (p) = A2B2 => A2B2 là đường trung bình của hình thang A1B1BA => B2 là trung điểm của BXB => BxB2 = B2B (đpcm) Chứng minh tương tự ta cũng được: c2 là trung điểm của C1C2 => C1C2 = C2C D2 là trung điểm của D1D2 => DiD2 = D2D. Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD, đó là: AiBiCiDi-ABCD và A2B2C2D2.ABCD