Giải bài tập Toán 11 Bài 8. Phép đồng dạng

Bài 8. PHÉP ĐỒNG DẠNG
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
ĐỊNH NGHĨA
• Phép đồng dạng là một phép biến hình, biến hai điểm M, N bất kì thành hai điểm M’, N’ sao cho M’N’ = kMN (k > 0) và k là tỉ số đồng dạng.
• Cho một điểm o cố định, số dương k không đổi và góc a (0° < I a I < 180°), phép đồng dạng tâm o, tỉ số k, góc a là một phép biến
hình, biến điểm M thành M’ sao cho:
OM' = kOM (ÕM,ÕM') = a
Kí hiệu: S(O; k; a)
o là tâm đồng dạng, k: tỉ số đồng dạng, a: góc đồng dạng.
Nếu k = 1: Phép đồng dạng biến thành phép quay (0; a)
Nếu a = 0°. Phép đồng dạng biến thành phép vị tự (O; k)
Nếu a = 180°: Phép đồng dạng biến thành phép vị tự (O; -k)
TÍNH CHẤT
Qua nhép đồng dạng S(O; k; a)
Ảnh của đoạn thẳng AB là đoạn thảng A’B’ sao cho A'B' = kAB
(ÃB, Ã3') = a
Ánh của một đường thẳng là một đường thẳng.
Ảnh của một tam giác là một tam giác đồng dạng.
Ánh của đường tròn (I; R) là đường tròn (T; R’) sao cho:
OI' = kOI
■ (Õĩ, Õf) = a
R' = kR
Tâm đồng dạng là giao điểm của hai đường thẳng tương ứng trong phép đồng dạng thì cùng ở trên một đường tròn.
Theo định nghĩa: phép đồng dạng là:
Tích của một phép vị tự và phép quay (định nghĩa 1)
Tích của một phép quay và một phép vị tự (định nghĩa 2)
Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
F-
M
\-
VT
s đồng dạng
s đồng dạng
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BAI TẬP
Bàỉ 1.
Cho tam giác ABC. Dựng ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B có-tỉ số	và phép đối
2
xứng qua đường trung trực của BC.
B biến thành chính nó.
c biến thành C’, C’ là trung điểm của BC vì BC = -ÌbC
2
Qua phép đối xứng trục ĐA (A là trung trực của BC).
B’ biến thành Bl (A là đường thẳng trung trực của B’Bi)
B biến thành c
C’ biến thành chính nó.
Vậy thực hiện liên tiếp phép vị tự và phép đôi xứng trục ĐA, tam giác ABC biến thănh tam giác BjCC’.
Bài 2.
Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh rằng hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.
Giải
Trước hêt thực hiện phép đôi xứng tâm I, ta có:
c -> A, D -> B, H -> K.
Hình thang IHDC -> hình thang IKBA.
Tiếp theo thực hiện phép vị tự tâm c, tỉ số k = 4, ta có:
2
A -> I, I -> J, B -> K, K -> L
Hình thang IKBA —> hình thang JLKI.
Vậy nếu thực hiện liên tiếp phép đối xứng Đi và phép vị tự V, .X thì hình thang IHDC biến thành hình thang JLKI.
C; i
( 2J
Suy ra hai hình thang IHDC và JLKI đồng dạng với nhau.
Bài 3.
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm 1(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên
Giải
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm o, góc 45° và phép vị tự tâm o, tỉ số V2 .
* 1(1; 1) là đỉnh hình vuông có đường chéo OI = V2 nên OI hợp với tia Oy góc 45°.
Q(0 45O), biến đường tròn tâm 1(1; 1), bán kính R = 2 thành đường tròn tâm J(0; V2 ) và có cùng bán kính R’ = 2.
* Xo /2)’ biến đường tròn tâm J bán
kính R’ = 2 thành đường tròn tâm K bán kính R" thì OK = \Í2 0J nên
K(0, 2) và R" = 2V2
Vậy ảnh của đường tròn tâm I qua phép đồng dạng là đường tròn tâm K có phương trình X2 + (y - 2)2 = 8.
Bài 4.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A, tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.
Giải
Gọi d là đường phân giác góc B của tam giác ABC.
I A’
vuông H’BA’ bằng với nó.	B .. Ạ.
Phép đối xứng qua d: biến H thành H’ e AB, biến A thành A’ e BC và biến B thành B do đó biến tam giác vuông HBA thành tam giác
Ta có H’A’ // AC, thực hiện tiếp
AC AC
H'A’ AH
theo phép vị tự tâm B, tỉ sô' - ; ■; = —— thì tam giác vuông H’BA’