Giải bài tập Toán 11 Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Bài 2.
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THANG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CẦN NAM VỮNG
VỊ trí tương đôiì của hai đường thẳng
Định nghĩa
Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
* Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
a và b là hai đường thẳng chéo nhau
II. Các tính chất
Định lí 1
Qua một điểm A cho trước không nằm trên đường thẳng b cho trước, có một và chỉ một đường thẳng a song song với b.
Định lí 2
Về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt, thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thảng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí 3
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi p, Q, R và s là bôn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm p, Q, R và s đồng phẳng thì:
Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy.
Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy.
Giải
Ta có :
hoặc PQ//RS//AC
c
Tương tự câu a.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD và ba điểm p, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm s của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây.
a) PR song song với AC;b) PR cắt AC.
Giải
Nếu PR // AC thì hai mặt phẳng (PQR) vâ (ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song PR, AC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng Qt song song hoặc trùng với AC. Vậy s = Qt n AD.
Nếu PR n AC = I thì ba mặt phẳng (ABC), (PQR), (ACD) cắt nhau theo ba giao tuyến đồng qui tại I. Do đó (PQR) cắt (ACD) theo giao tuyến IQ. Vậy s = IQ n AD.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.
Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mp (BCD).
Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại ■M’.
Chứng minh GA = 3GA.
Giải
Trong mặt phẳng (ABN), gọi A’ là giao điểm của AG và BN, ta có:
A’ = AG n (BCD)
Từ M kẻ đường thẳng song song với AA’, đương thẳng này nằm trong mp (ABN) và cắt BN tại điểm M’.
MM’ là đường trung bình của tam giác ABA’ nên BM’ = M’A’ (1)
M’A’ = A’N
(2)
Từ (1) và (2) cho ta BM’ = M’A’ = A’N
A'B
BN
BN là đường trung tuyến và
A'B
BN
= I thì A’ là trọng tâm của
GA’ là đường trung bình của tam giác MPN nên
ABCD.
Tương tự ta có:
Đường thẳng BG đi qua trọng tâm của AACD.
Đường thẳng CG đi qua trọng tâm của AABD
Đường thẳng DG đi qua trọng tâm của AABC.
Gọi B’ là trọng tâm của AACD. Ta có:
NB'_1. NA'_1 NB'_ NA'
NB ” 3 ’ NA " 3 NB " NA
Theo định lí đảo của định lí Talét, ta có A’B’ // AB. Từ đây suy ra:	= ị: => GA = 3GA'.