Giải bài tập Toán 11 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III

  • BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III trang 1
  • BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III trang 2
  • BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III trang 3
  • BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III trang 4
  • BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III trang 5
  • BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III trang 6
  • BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III trang 7
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III
Bài 1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song;
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song;
Mặt phẳng (a) vuông góc với đường thẳng b mà b vuông góc với đuhíng thẳng a, thì a song song với (a)
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song;
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.
Giải
Đúng
Đúng
Sai (vì a có thể nằm trong mp(a), xem hình vẽ)
Sai, chẳng hạn hai mặt phảng (a) và (p) cùng đi qua đưừi.g thẳng a và a 1 mp(P) nên (a) và tp) cùng vuông góc với mp(P) nhưng (a) và (p) cắt nhau.
Sai, chẳng hạn a và b cùng ở / trong mp(P) và mp(a) ± d. Lúc đó a và	'
b cùng vuông góc với d nhưng a và b có thể không song song nhau.
d
Bài 2. Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào đúng?
Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điếm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.
Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phảng khác cho trước.
Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Giải
Câu a) đúng. Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điếm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. (§5 - chương III).
Câu b) sai. Qua một điểm có duy nhất một mặt phảng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu c) sai. Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Đế có khảng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt pìiẳng đã cho.
Câu d) sai. Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường thẳng ấy.
Bài 3. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
Mặt phảng (a) đi qua A và vuông góc với cạnh sc lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc
với SB.
Giải
a) Các mặt bên là A vuông:
• SA 1 (ABCD) => SA 1 AB, SA 1 AD
ÍCB 1 AB
ịAB là hình chiếu của SB trên (ABCD)
=> CB 1 SB
Tương tự CD ± SD
Vậy các mặt bên SAB, SAD, SBC, SDC là tam giác vuông b) Chứng minh B’D’ // BD, AB’ 1 SB
=> BD 1 (SAC)
BD 1 AC
BD 1 SA (vì SA 1 (ABCD)
=> BD 1 sc
=> BD 1 sc
mà (AB'C'D)lSC
=> (AB’C’D’) // BD nên mặt phảng (SBD) chứa BD cắt (AB’C’D’) theo giao tuyến B’D’ song song với BD.
AB'1(SBC)=> AB'ISB
AB' 1 BC (vì BC 1 (SAB))	ì
AB' 1 sc (vì sc Ị (AB'c ’ D')J
Bài 4. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có BAD = 60°. Gọi o là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng so vuông 3a
góc với mặt phẳng (ABCD) và so = ---■. Gọi E là trung điểm của đoạn
4
BC và F là trung điếm của đoạn BE.
Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Tính các khoảng cách từ o và A đến mặt phẳng (SBC).
Giải
a) Từ giả thiết ta suy ra tam giác BOE là tam giác đều, cạnh , do đó OF là đường
cao và ta được OF ± BC.
SO 1 (ABCD)
OF1BC
SF1BC
OF 1 BC
BC 1 (SOF)
=> SF ± BC (định lí 3 đường vuông góc)
BC c (SBC)
Suy ra (SOF) 1 (SBC)
b) Vì (SOF) 1 (SBC) và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến SF nên nếu từ điểm o ta kẻ OH 1 SF thì OH 1 (SBC) và OH chính là khoảng cách từ 0 đến mp (SBC).
Ta có: SO = OF =	=> SF =
4	4	8
Sa
OH.SF = SO.OF OH = —
8
Gọi K là hình chiếu của A trên mp (SBC), ta có AK // OH.
Trong A AKC thì OH là đường trung bình, do đó:
a,/s AK = 2OH => AK =
4
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuông tại D có CD = a.
Chứng minh các tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông.
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
Giải
Gọi (a), (P) lần lượt là mặt phảng chứa
tam giác ABC và ADC.
(a) 1 (P) theo giao tuyến AC
AB c (cc) và AB ± AC (Tam giác
ABC vuông ở A)
=> AB 1 (P)
a) • Chứng minh tam giác BAD vuông
Ta có AB 1 (P) o AD => AB 1 AD
Vậy tam giác ABD vuông tại A
• Chứng minh tam giác BDC vuông
Ta có:
rDC 1 AB (vì AB 1 (p) Z) DC)
[DC ± AD (vì tam giác ADC vuông ở D)
=> DC 1 (ABD)
=> DC 1 BD
Vậy tan giác BDC vuông ở D.
• Chứng minh IK là đoạn thẳng vuông góc chung của AD và BC
♦
A - D (vuông)
Xét AABC và ACAD, ta có: *
AC : cạnh chung
AB = DC = a
=> Hai trung tuyến BI = CI
=> Tam giác IBC cân ở I
=> IK1 BC (1)
* Chứng minh tương tự, AABC = ADCB
=> AK = DK
=> Tam giác KAD cân ở K
' => IK 1 AD (2)
(1) và (2) => IK là đoạn thẳng vuông góc chung của AD và BC.
Bài 6. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)
Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và Bơ.
Giải
Chứng minh BC’ 1 (A’B’CD)
• BB’C’C là hình vuông
=> Bơ 1 B’C (1)
. DC 1 (BB’C’C)
=> Bơ 1 DC (2)
(1) và (2) => Bơ 1 (A’B’CD) (đpcm)
Do AD’ // Bơ nên mặt phẳng (AB’D’) là mặt phảng chứa AB’ và song song với Bơ
Ta tìm hình chiếu của BC’ trên mp (AB’D’)
Gọi E, F là tâm của các mặt bên ADD’A’ và ABCC’B’. => AD’ 1 (A’B’CD) và IF c (A’B’CD)
AD' 1 IF (3)
EB ■ 1 IF (4)
Từ (3) và (4) suy ra IF ± (AB’D’)
Vậy I là hình chiếu của F trên mp(AB’D’). Qua I ta dựng đường thẳng song song với BC’ thì đường thẳng này chính là hình chiếu của BC’ trên mp (AB’D’).
Đường thẳng qua I song song với BC’ cắt AB’ tại K. Qua K ta kẻ đường thẳng song song với IF, đường này cắt BC’ tại H. KH chính là đường vuông góc chung của AB’ và BC’. Thật vậy.
IF 1(AB'D')=>
IF 1 AB’
KH//IF
=>KHiAB'
BC'±(A'B'CD)
IFcz(A'B'CD)
IF 1 BC'
KH//IF
KH 1 BC’
Tam giác EFB’ vuông tại F, FI là đường cao thuộc cạnh huyền nên
1	11	, ay2 TTITTI
Tính khoảng cách từ s đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh sc.
Chứng minh mặt phảng (SAC) vuông góc với mặt phảng (ABCD).
Chứng minh SB vuông góc với sc.
Gọi ìp là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tancp.
Giải
a) • A ABD cân có góc A = 60° nên là tam giác đều tâm G và SA = SB = sc nên S.ABD là hình chóp đều, do đó SG ± (ABD).
• Tam giác vuông SGA cho:
b)
SGT(ABCD) ì (SAC) chứa SGJ
=> (SAC) 1 (ABCD)
Ta CỐ:	=> BC 1 (SBG) => BC 1 SB
• Mà BC//AD Ị
Tính tan <p:
(SBD) n (ABCD) = BD ■
SO 1 BD và AO 1 BD
=> SOA là góc giữa (SBD) và (ABCD) => SOA = <p
A SGO vuông tại G, cho:
tan ọ =
SG
OG
a 715
—6—= 75
1 aTã