Giải bài tập Toán 11 Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 1
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 2
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 3
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 4
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 5
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 6
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 7
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 8
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 9
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 10
  • Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc trang 11
Bài 4. HAI MẶT PHANG vuông góc
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
I. Góc giữa hai mặt phẳ.ng
I. Định nghĩa
Giả sử hai mặt phảng a và p cắt nhau theo giao tuyến c. Từ điểm I bất kì trên c ta dựng trong a đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong p đường thẳng b vuông góc với c. Ta gọi góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai mặt phảng a và p. Như vậy góc giữa hai a và p luôn bé hơn hoặc bằng 90°. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0°.
Góc giữa hai mặt phảng a và p được kí hiệu là (a, p). Ta có 0° < (a, p) < 90°.
Nhận xét
Cho a và p là hai mặt phảng phân biệt. Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a và d’ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng p. Khi đó góc giữa a và p bằng góc giữa d và d’.
II. Hai mặt phẳng vuông góc
1. Định nghĩa: Hai mặt phảng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Như vậy:.a ±p3aea:a±p.
Các tính chất
Định lí 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc đường thẳng nào nằm trong mặt phảng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Tức là.
a±pvàanp = d
=> a 1 p
a e a và a 1 d
Định lí 2\ Nếu hai mặt phẳng a và p vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trên a thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc với p sẽ nằm trong a.
Tức là:
=> a G a.
Định lí 3: Hai mặt phẳng a và p vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phảng đó vuông góc với mặt phảng thứ ba.
Tức là:
Ja n p = d [a 1 y và p 1 Ỵ
=> d 1 Y
Định lí 4: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt
phẳng, ta dựng được một và chỉ một mặt phẳng vuông góc cới mặt
phảng ấy.
III. Hình lăng trụ đứng
• Định nghĩa:
Một hình lăng trụ được gọi là lăng trụ đứng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với các mặt đáy.
Một hình lăng trụ đứng có đáy là miền đa giác đều được gọi là lăng trụ đều.
Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp đứng.
Hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
• Hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông gọi là hình lập
phương.
Lăng trụ đều
có đáy là đa
giác đều
Lăng trụ đứng có
đáy là hình bình
hành
Hình hộp chữ
nhật
Hình lập
phương
Hình chóp đều
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy
cao của hình chóp trùng
s
•A-2 A3
của nó là miền đa giác đều và chân đường nhau với tâm của đa giác đều đó.
Nhận xét rằng các cạnh bên của hình chóp đều thì bằng nhau và các mặt bên của nó là những tam giác cân bằng nhau.
Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp với trung điểm của một cạnh đáy bất kì gọi là trung đoạn của hình chóp đều.
Hình chóp cụt đều
Định nghĩa: Một hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
Khi đó:
Hai đáy là hai đa giác đều và đồng dạng.
Đường nối tâm 001 của hai đáy gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân và bằng nhau.
• Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đáy thuộc một mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp cụt đều.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: Cho ba mặt phẳng (a), (P), (y), những mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu (a) ± (P) và (a) // (y) thì (p) 1 (y).
Nếu (a) ± (p) và (a) 1 (y) thì (P) // (y).
Giải
Đúng, vì nếu gọi m là đường thẳng vuông góc với p và n là đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song a, y thì góc (m, n) = (P, a) = (p, y), mà p ± a nên p ± y.
Sai, vì hai mặt phẳng (p), (y) cùng vuông góc với mp(a) có thể song song hoặc cắt nhau
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (a), (P) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến A của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8cm. Gọi c là một điểm trên (a) và D là một điểm trên (P) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến A và AC = 6 cm, BD = 24 cm. Tính độ dài đoạn CD.
Giải
Nôi AD, CD ta có:
• DB 1 (A) nên AABD vuông cho ta:
AD2 = AB2 + BD2
• (a) 1 (0) theo giao tuyến A ■
AC c (p) và AC 1 A
=> AC 1 (p)
Vậy AC 1 AD nên AACD vuông cho ta:
CD2 =AC2 + AD2
= AC2 + (AB2 +BD2) = 62 + 82 + 242 = 676
Vậy CD = 26 (cm)
Bài 3: Trong mặt phảng (a) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (ct) tại A. Chứng minh rằng:
ABD là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC vớimp(P) đi qua A và vuông góc với DB.
Giải
Chứng minh ABD là mặt phẳng (ABC) và (DBC)
Ta có:
• (ABC) n (DBC) = BC (1)
. AB 1 BC (AB c (ABO) (2)
góc giữa hai
• J" BC 1 AB (tam giác vuông ở B)
BC L DA (vì DA 1 (ABO)
=> BC 1 DB hay DB 1 BC (DB c (DBC)) (3)
* (1), (2), (3) => ABD là góc giữa hai mặt phảng (ABC) và (DBC) (đpcm).
Chú ý: ABD < 90° vì tam giác ABD vuông ở A.
Ta có:
BC 1 AB
BC1AD
=> BC 1 (ABD)
Cnứng minh (ABD) ± (BCD)
(1)
=> (BCD) 1 (ABD) (đpcm)
Chứng minh HK // BC
mp(P) = mp(AHK)
Theo giả thiết, ta có mp(AHK) ±DB => HK ± DB (4)
Theo chứng minh ở câu a, ta có BC 1 DB (5)
HK, BC, DB cùng ở trong mp(DBC)	(6)
•	(4), (5), (6) => HK // BC (đpcm)
Bài 4: Cho hai mặt phảng (a), (p) cắt nhau và một điểm M không thuộc (a) và (p). Chứng minh rằng qua điểm M có một và chỉ một mặt phẳng (P) vuông góc với (a) và (p). Nếu (a) // (P) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?
Giải
Từ M kẻ MH 1 (a) và MK 1 (p)
Gọi A là giao tuyến của (a) và (p)
MHia
A c (a)
Tương tự ta có: MK ± A (2)
Từ (1) và (2) suy ra A 1 (MHK)
Ál(MHK)]
=>(MHK)l(a)
A cz (a)	!
Chứng minh tương tự, ta có (MHK) 1 (p)
Vậy (MHK) chính là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (a) và (P).
Kết quả: Mặt phẳng (P) cần dựng (tức mp (MHK)) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với A.
Vì qua một điểm chỉ có duy nhất một mặt phảng vuông góc với một đường thẳng cho trước nên (P) là duy nhất.
Nếu (ơ) // (p) thì qua M ta chỉ có thể vẽ một đường thẳng A vuông góc với (a) và (p). Bất kì mặt phẳng (P) nào chứa A cũng đều vuông góc với (a), (p). Trường hợp này, qua M có vô số mặt phảng vuông góc với (a), (P).
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
Mặt phẳng (AB’C’D) vuông góc với (BCD’A’)
Đường thảng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)
Giải
Chứng minh (AB’C’D) 1 (BCD’A’)
ABB’A’ là hình vuông
=>AB1A’B	(1)
. (AA’B’B) 1 BC
=> AB’ 1 BC	(2)
(1) và (2) => AB’l (BCD’A’)
Mà (AB’C’D’) => AB’,
nên (AB’C’D’) 1 (BCD’A’) (đpcm).
Chứng minh AC’ 1 (A’BD)
Ta có:
• A'Bl(AB'C'D)
A ’ B 1 AB' (hình vuông AA' B ’ B)
A'B 1 AD (vì AD l(AA'B’B))
=> A’B 1 AC’
(3)
=> BD 1 (ACC A')
BD 1 AC (hình vuông ABCD)
BD1 AA' (AA'l(ABCD)
BD 1 AC’ (4)
(3) và (4) => AC’ ± (A’BD) (đpcm)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA = SB = sc = a. Chứng minh rằng:
Mặt phảng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). Tam giác SBD là tam giác vuông.
Giải
Chứng minh (ABCD) 1 (SBD)
a)
b)
a)
Gọi o = AC n BD. Ta có:
SO ± AC (SO là trung tuyến tam giác cân ở SAC)
BD ± AC (đường chéo hình thoi)
SO, BD cắt nhau trong (SBD)
J (ABCD) 1 (SBD)
mà AC c (ABCD)
b) Chứng minh A SBD vuông:
Đặt AO = X
A AOB vuông tại o nên:
OB2 = AB2 - AO2 = a2 - X2.
A SOA vuông tại o nên:
SO2 = SA2 - AO2 = a2 - X2.
Vậy OD = OB = OS = a2 -X2
ASBD có trung tuyến so = i BD nên là tam giác vuông tại s.
2
Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Có AB = a, BC = b, CC’ = c
Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC’B’) vuông góc với mặt phẳng (ABB’A’)
Tình độ dài đường chéo AC’ theo a, b và c.
Giải
a) Ta có: BC'1 (BB'C'C) =>
B'C'lBB'
B'C'l A'B
=> B'C'l(ABB'A')
mà B’C’ c (ADC’B’)
Suy ra (ABB’A’) 1 (ADC’B’)
b) B’C’ 1 (ABB’A’) => B’C’ 1 AB’
Trong tam giác vuông AB’C’, ta có:
AC2 = AB2 + BC2
Trong tam giác AA’B’ ta lại có:
AB2 = AA’2 + A’B’2
Suy ra AC2 = AA’2 + A’B’2 + B’C’2
Suy ra AC2 = c2 + a2 + b2
=} AC’ = ựa2 + bc + c2
* Chú ý: Có thể tính như sau
	——. . 	. , . 2 / 	 ■ •. 2 Ta có: AC' = AA' + A'B' + B'C' => AC' = (AA' +A'B' +B'C'j
	.2	-2	'2	-2	•	.	.	. 	,
=> AC’-= AA'-+ A'B’ + B'C' + 2AA'.A'B'+ 2AA'.B'C' + 2A'B'.B'C'
Vì AA’ 1 A’B’ => ẦáT'.A 1 B"’ = 0 ;
A’B’ 1 B’C’=> Ãĩr.BTr' = 0 ;
AA’ 1 B’C’ => ÃA’.ETC ’ = 0 .
Bài 8: Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a.
Giải
* Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có a = b = c nên đường chéo d = Va2 + a2 + a2 - a Vã
Bài 9. Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có SH là đường cao. Chứng minh SA vuông góc với BC và SB vuông góc với AC.
Giải
Hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là là tam giác đều ABC và chân đường cao trùng với tâm của đáy
=> H là tâm của tam giác đều ABC
• AH 1 BC
Mà AH là hình chiếu của SA trên (ABC)
=> BC 1 SA.
• Tương tự AC ± BH.
BH là hình chiếu của SB trên (ABC) => AC ± SB.
Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCĨ) có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi o là tâm của hình vuông ABCD.
Tính độ dài đoạn so. 	
Gọi M là trung điểm của đoạn sc. Chứng minh hai mặt phảng (MBD) và (SAC) vuông góc với nhau.
Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
Giải
Theo giả thiết, S.ABCD là hình chóp đều nên so ± (ABCD) Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường chéo AC = aV2; với mặt phẳng (ABCD).
Từ tam giác vuông SOA ta có:
SO2 = SA2 - OA2 => SO2 = a2
2
2a2
4
ay2
~ĨT.
b) SO 1 (ABCD)
SO 1 DB
AC 1 DB
> => DB 1 (SAC)
mà BD <z (MBD) nên (SAC) 1 (MBD)
c) Ta có: so = ^ặ-, oc =	=> so = oc
■ 2	2
=> Tam giác soc vuông cân đỉnh o, OM là trung tuyến ứng với cạnh huyền, cho ta: OM = 4^ => oc =
2	2
Hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) giao nhau theo giao tuyến BD vì BD 1 (SAC) => OM 1 BD và oc 1 BD.
Suy ra MOC là góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
Từ đây dễ thấy MOC = 45° vì tam giác soc vuông cân => góc giữa hai mặt phảng (NBD) và (ABCD) là 45°.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi
tâm I, cạnh a và có góc A = 60°, cạnh sc bằng —A— và sc vuông góc
Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phảng (SAC)
Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với AS tại K. Hãy tính độ dài IK.
Chứng minh BKD = 90° và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc vối mặt phẳng (SAD).
Giải
Chứng minh (SBD) X (SAC):
Ta có: SC 1 (ABCD) => sc. 1 BD
Mà AC 1 BD (đường chéo hình thoi)
=> BD 1 (SAO
Mà BD c (SBD) nên (SBD) 1 (SAC)
Tính IK:
A ABD có AB = AD = a
	x	aự3
BAD = 60° nên là tam giác đều suy ra AI = —““
SC 1 (ABCD) nên SC 1 CA.
A vuông SAC và A vuông IKA có A chung nên đồng dạng
IK Al TTZ SC.AI
=> IK =	"
SC -AS	SA
Mà SA = 7sc2 + CA2
3a2V2	2	_ a
4	■3aV2 - 2
a/3
Vậy IK = 2	2
3aV2
2
Chứng minh BKD = 90°, suy ra (SAB) ± (SAD)
* Do IK = I = nên ABKD vuông tại K. Suy ra BKD = 90°
2	2
SA 1 IK (giả thiết)
^ => SA X (BKD)
BD 1 (SAC) => BD X SA
IK, BDcắt nhau trong (BKD)
Vậy:
SA1KD
SA 1KB
■ => góc giữa (SAB), (SAD) là BKD - 90°
SA = (SAB) n (SAC)
Suy ra (SAB) 1 (SAD)