Giải bài tập Toán 11 Bài 7. Phép vị tự

Bài 7. PHÉP VỊ Tự
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
ĐỊNH NGHĨA
Cho một điểm 1 cố định và một số k 0. Phép V ị tự tâm I tỉ số k, kí hiệu Vịk là phép biến hình biến mỗi điểm M th, nh một điểm M’ xác định, sao cho IM' = k. IM .
Điểm I được gọi là tâm vị tự, số k được gọi là tỉ số vị tự.
• Phép vị tự hoàn toàn được xác định khi biết tâm và tỉ số vị tự.
Nhận xét: Cho phép vị tự vk.
Khi k = 1, ta có phép vị tự V;1 là phép đồng nhất.
Khi k = -1, phép vị tự V,"1 là phép đôi xứng tâm I.
Phép vị tự vk biến tâm I thành chính nó.
Trường hợp k * 1, ta có: vk (M) = M M = I.
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Bài toán.
Trong mặt phẵng Oxy, cho phép vị tự tâm I(x0; y0) tỉ số k 0 và điểm M(x; y) tùy ý. Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép vị tự đã cho. Hãy tìm sự liên hệ giữa tọa độ (x; y) và tọa độ (x’; y’) qua phép vị tự tâm I tỉ số k.
Giải
Theo định nghĩa ta có IM' = k. IM , trong đó:
IM' = (x’ - x0; y’ - y0) IM = (x - x0; y - y0)
Do đó:
x' = kx + (1 - k)x0 y'= ky + (l-k)y0
x' - x„ - k(x - x())
,	_ L l ,	' \ hay
y -y.) = k(y -y0)
Ta có biểu thức tọa độ của phép vị tự là
x' = kx + (1 - k)x0
y' = ky + (1 - k)y0
TÍNH CHẤT
Giả sử M’, N’ theo thứ tự là ảnh của M, N qua phép vị tự tỉ số k. Khi đó
IM' = k. IM ,
M’N’ = I k I .MN
Phép vị tự ti số k
Biến ba điểm thắng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm tương ứng.
Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.
Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
Biến một đường tròn có bán kính r thành đường tròn có bán kính I k I r.
ẢNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP VỊ Tự
Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn.
Gia sử rằng qua phép vị tự V(O; k), đường tròn (I, R) biến thành đường tròn (I’; R’). Một đường thẳng d qua tâm vị tự o và cắt đường tròn (I, R) tại A và B, cắt đường tròn (T, R’) tại c và D. Khi đó, các điểm A và B được biến thành những điếm tương ứng D và c qua phép vị tự đó. Hơn nừa, nếu đường thắng d nói trên tiếp xúc với đường tròn (I, R) tại M thì d cùng tiếp xúc với (!’, R’) tại M’ là ảnh của M.
TÂM VỊ Tự CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
Nếu có phép vị tự tâm o biến đường tròn này thành đường tròn kia thì o được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó. Nếu phép vị tự đó có tỉ số dương thì điểm o gọi là tâm vị tự ngoài, nếu phép vị tự đó có ti số âm thì điểm o gọi là tâm vị tự trong.
Cho hai đường tròn (I, R) và (F, R’)
Khi đó:
Trường hợp hai đường tròn đồng tâm: Ta có hai phép vị tự biến (I; R) thành (!’; R’). Đó là:
R'
Phép vị tự Vị tâm I ti số 44- R
và phép vị tự v2 tâm I ti số
R (Trên hình bên, phép vị lự V1 biên M thành M’1 và phép vị tự v2 biến M thành M’2).
Trường hợp I không trùìig với T nhưng R = R’, tức là k = ±1. Ta có một phép vị tự biên (I; R) thành (!’; R’). Đó là phép vị tự tâm Ọ, ti số -1, với o là trung điểm II’ (tức là phép đối xứng qua điểm O).
* Trong trường hợp 1 không trùng T và R R’. Gọi M là điếm trên (I; R) và M' là điếm trên (T; R’) sao cho IM // I'Mí, MỊ, là điểm đôi tâm của M'
Giả sử đường thằng II’ cắt M\ỉị và ,\í.\l, lần lượt tại 01 và 02. Ta có hai phép vị tự biến (1; R) thành (I’; R’). Đó là: Phép vị tự Vị tâm 01 tỉ số ki = ^- và phép vị tự v2 tâm 02 ti số k2 = —
R	R
Chú ý: Mối quan hệ giữa phép vị tự và các phép dời hình:
Phép đối xứng qua tâm o là phép vị tự tâm o tí số -1.
Phép đồng nhất là phép vị tự với tâm là điểm bât kì và ti sô k = 1.
Tuy nhiên, phép đối xứng trục không phải là phép vị tự vì các đường thẳng nối các cặp điếm không đồng quy, phép tịnh tiên theo vectơ khác Ố không phải là phép vị tự, không có điếm nào biên thành chính nó.
B. HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP
Bài 1.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và II là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm 11, ti sô 1
Giải
Tam giác ABC có ba góc nhọn nên điếm H thuộc miền trong của
tam giác. Qua phép vị tự V , diem A biên 11: .
2
thành điểm A’; là trung diêm cua đoạn thẳng
AHvì HA'=ịHÀ
2
Tương tự, ta có: HB' 1 11B ; HC' = ị HC
2	2
=> AA’B’C’ là ảnh cua tam giác ABC trong
phép vị tự V
H:
Bài 2.
dường tròn trong các trường hợp sau.
a)
Tìm tàm vị tự cùa hai
Giải
Gọi CH, R), CH’, R’)
• Ké 2 dường kính MN, PQ song song cua 2 đường tròn và đường thẳng nối hai tâm IF.
• MP n IF = o là tàm vị tự ngoài
MQ n 11’ = 01 là tâm vị tự trong
c/iú ý; MPmNQ II'= o ;
1MQ n PN n II’ = Oj
Bài 3.
Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm o sẽ được một phép vị tự tâm o.
Hướng dẫn. Dùng định nghĩa phép vị tự.
Giải
o M	M)	M2
Xét hai phép vị tự k|) và 3(0 k ,
Với mỗi điểm M, ta có: M —3,|) k|'—í» Ml —°-k2'—» M2
I
Ta có OMj = IqOAÍ và OM2 = k2ÒMi'
=> OM2 = k2(k1.ỒM) (kjk^.OM
=> M2 là ảnh của M qua phép vị tự &(Q k k ,
Vậy thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm o ta sẽ dược phép vị tự tâm