Giải toán 7 Bài 1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

§1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH Đối DIỆN
TRONG MỘT TAM GIÁC
Tóm tốt kiến thức
Định lí 1. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Tam giác ABC, AC > AB => B > C (h.3.1).
Định lí 2. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Tam giác ABC, B > c => AC > AB (h.3.1).
Ví dụ giải toán
Ví dụ, Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng tỏ MAB > MAC.
Giải. Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MD = MA (h.3.2).
A
Xét hai tam giác MAB và MDC có: MA = MD (cách dựng);
AMB = DMC (đối đỉnh);
MB = MC (giá thiết).
Suy ra AMAB = AMDC (c.g.c).
Do đó AB = DC và MAB = MDC. Ta có AB = DC và AB < AC nên DC < AC.
Xét tam giác ADC có AC > DC, theo định lí 1 ta có ADC > DAC suy ra BAM > MAC.
Nhận xét
Hai góc BAM và MAC không phải là hai góc của một tam giác. Do đó cần tìm một tam giác có hai góc tương ứng bàng BAM; MAC và liên quan đến AB < AC nên ta vẽ đường phụ MD = MA, thoả mãn yêu cầu trên.
Ta có thể thay giả thiết AB c ta cũng có kết luận MAB > MAC.
Bạn có thể vận dụng tương tự để giải bài toán ngược sau: Cho tam
giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. Biết rằng BAM > MAC, chứng minh AB < AC.
Vận dụng tổng các góc trong của tam giác bằng 180° của mỗi tam giác ABM, ACM, bạn sẽ giải được bài hay và khó sau đây.
Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm BC.
Chứng minh AMB < AMC .
c. Hưóng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 1. Giải. Sắp xếp các cạnh của tam giác ẠBC từ nhỏ đẹn lớn:
AB<BC< AC (2<4<5).
Viết các góc đối diện tương ứng với các cạnh trên, suy ra: c < A < B . Bài 2. Giải. Tính góc c được C = 180°-(Â + ồ) = 180°-(80° +45°) = 55° .
Sắp xếp các góc của tam giác ABC từ nhỏ đến lớn B < c < A . Viết các cạnh đối diện tương ứng với các góc trên AC, AB. BC: Từ định lí 2 suy ra AC < AB < BC.
Nhận xét. Qua hai bài trên, chúng ta nhận thấy rằng: Nếu biết độ dài ba cạnh của một tam giác thì so sánh được các góc của tam giác, ngược lại nếu biết số đo hai góc của tam giác thì ta cũng so sánh được các cạnh của tam giác ấy.
Bài 3. Giải
Tam giác ABC cồ góc A là góc tù nên cạnh BC là cạnh lớn nhất.
Ta có C = 180° -(Â + ê) = 180° -(ioo° +40°) = 40°.
Vậy B = c = 40° nên ABC là tam giác cân.
Bài 4. Giải. Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất.
Góc nhỏ nhất của tam giác là góc nhọn (tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhọn).
Bài 5.
Giải. (h.3.3) A BCD có C > 90°
do đó BD > CD (1).
Ta lại có ABD > c (ABD là góc (tù) ngoài của tam giác BCD) nên ABD > 90°. Tam giác ABD có ABD > 90° nên AD > BD (2).
Từ (1) và (2) suy ra
AD > BD > CD.
Do đó Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất.
Bài 6. Gicíi. (h.3.4) Tiong hình 3.4 điểm D
nằm giữa A và c nên ta có:
AC = AD + DC = AD + BC > BC
Do đó A < B (vì góc A đối diện với cạnh BC nhò hơn). *
Các kết luận a) và b) sai.
Bài 7. Giấi. (h.3.5)
Tia BB' nằm trong góc ABC, do đó ABC > ABB' (1).
Tam giác ABB' cân đỉnh A (AB = AB') nên ABB' = ABB (2).
Góc ABB là góc ngoài tại đỉnh B' của tam giác BB’C nên
B
ABB>ACB (3).
Từ các bất đẳng thức và đẳng thức (1), (2) và (3), ta có ABC > ACB (đpcm).
D. Bài tạp luyện thêm
Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, AC = 8 cm. So sánh các góc của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC biết Ạ = 100°; B = 50°. So sánh các cạnh của tam giặc ABC.
Cho tam giác ABC có A = 50°; B : c = 2 : 3. So sánh các cạnh của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D. So sánh BD và CD.
5.
5.
1.
1.
2.
2.
3.
3.
Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên cạnh AB, AC lấy điểm N; M tương ứng sao cho AN = AM. Gọi o là giao điểm của BM và CN. Chứng minh OB > oc.
Lòi giải - Hướng dần - Đáp số
Ta có AB < BC < AC (vì 5cm < 7cm < 8cm)
=> c < A < B (theo định lí 1).
Tam giác ABC có Â + B + C = 180° , thay số ta được 100°+50°+C = 180° =>C = 30°.
Do đó c < B < Â (30° < 50° < 100°).
Suy ra AB < AC < BC (theo định lí 2).
Tam giác ABC có Â + B + C = 180°, Â = 50° => B + C = 130° mà. . B C _
— - y. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
B _ c _ B + C _ 130° _ 26O 2 - 3 - 2 + 3 - 5
=>B = 52°; c = 78°.
Do đó Â < B < C (50° < 52° < 78°), suy ra BC < AC < AB.
(h.3.6) Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho A AE = AB	A
=> AABD = A AED (c.g.c) => BD = ED ; Dị = D, .
Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có: B Dọ C; Ej > D| .
D
Hình 3.6
Mà D| - D2 => Ej > c .
Xét tam giác EDC có Eị > c => DC > DE => DC > BD.
Nhận xét
Sai lầm có thể mắc là tưởng rằng: Aj = Aọ thì BD = CD. Lưu ý
rằng khi so sánh hai đoạn thẳng, bạn nên đưa về cạnh của một tam giác và dùng định lí 2.
Kĩ thuật dùng tính chất góc ngoài của tam giác là điểm mạnh cứa bài toán này.
Hình 3.7
(h.3.7) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho AK = AC =ỳ KM = CN.
AKC BKC > 90°
=> BKM > 90° => BM > KM =-> BM > CN mà OM < ON (vì OM < OI + IM = OI + IN = ON)
=>BM - OM > CN - ON => BO > CO
Nhận xét. Đây là bài toán khó, đã kết hợp yếu tố hình học và biến đổi đại số.