Giải toán 7 Bài 6. Tính chất ba đường phân giác của một tam giác

§6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A. Tóm tốt kiến thức
Định lí 1. Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.
Tam giác ABC có:
AB = AC A| = A2
B ■ D Hình 3.51
BD = DC (h.3.51)
D
Hình 3.52
Định lí 2. Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
A, =A2, B) =Bọ, c, =c2 => ID = IE = IF (h.3.52).
Chú ý. Theo kết quá của Bài tập 32 SGK, ta chứng minh được:
Hai đường phân giác của hai góc ngoài
của tam giác và đường phân giác của góc trong không kề với chúng cùng đi qua một điểm (điểm này cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác đó) (h.3.53).
A, =Ấị. Bị =ĩự Cj =cỊ
=> KD = KE = KF.	Hình 3.53
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA; trên tia đối cúa tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua N kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt nhau tại s. Chứng minh SA là tia phân giác cúa MSN.
Giải. (h.3.54) BA = BM nên tam giác BAM cân tại B suy ra A) = Mọ . Mà AB // SM nên A| = Mị.
Suy ra Mj = Mọ hay MA là tia phân
giác của SMN.	M B	C
°	Hình 3.54
Tương tự, NA là tia phân giác của SNM.
Xét tam giác SMN có MA và NA là các đường phân giác cắt nhau tại A nên SA cũng là đường phân giác của MSN.
Nhận xét. Bài toán đã vận dụng tính chất giao điểm hai đường phân giác của hai góc trong tam giác nằm trên đường phân giác trong của góc thứ ba để chứng minh một tia là tia phân giác của một góc.
c. Hương dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
Hình 3.55
Bài 36. Gidi. (h.3.55) Gọi IM, IN, IP là các đường vuông góc kẻ từ I theo thứ tự xuống các đường thẳng EF, FD, DE.
Điểm I theo đề bài, cách đều ba cạnh tam giác DEF nên IM = IN = IP.
Mặt khác AFIM = A FIN (IM = IN, FI chung) do đó F| = F, , tức là I nằm trên phân giác của góc F.
Lập luận tương tự. ta thày ỉ nằm trên phân giác của góc E và nằm trên phân giác của góc D của tam giác DEF. Vậy I là điểm chung của ba
Bài 37.
Bài 38.
Bài 39.
đường phân giác của tam giác.
Giải, (h.3.56) Điểm K cần vẽ chính là điểm chung của ba phân giác cua tam giác MNP. Ta chi cần vẽ hai phân giác xuất phát từ hai đinh cắt nhau tại điểm K (chắc chắn đường phân giác xuất phát tù' đinh thứ ba sẽ đi qua K, vì theo định lí 2 ba đường phân giác cùng đi qua một điểm).
Kẻ KD 1NP, KE 1 MP, KF 1 MN.
Hình 3.56
Theo tính chất ba đường phân giác trong tam giác, ta có KD = KE = KF. Điếm K chính là điếm phái tìm.
Giai, (h.3.57)
K + L= 180°-ỉ = 180°-62° = 118°.
K.+L, =^±à = 59°.
1 1 2
K0L = 180°-(k, +L,)
= 180°-59° = 121°
Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên 10 là tia phân giác của góc I. Do đó KIO = ^- = 31°-
o là giao điểm ba đường phân giác của tam giác IKL nên o cách đều ba cạnh của tam giác IKL.
Giãi. (h.3.58)
Hai tam giác ABD và ACD có:
Hình 3.58
AB = AC (gt), AD chung, BAD = CAD (gt).
Vậy AABD = AACD (c.g.c).
Từ kết quả A ABD = A ACD, ta có ABD = ACD. Từ giả thiết AB = AC suy ra ABC = ACB .
Ta có
Bài 40.
Bài 41.
Bài 42.
DBC = ABC - ABD = ACB - ACD = DCB .
Giải, (h.3.59) I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác nên AI là tia phân giác của góc A. Gọi M là trung điểm của BC, tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AI cũng là đường trung tuỵến, do đó AI đi qua M (1).
G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM đi qua G (2).
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.
Giải, (h.3.60) Xét tam giác ABC đều, các đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau ở G.
Các đường trung tuyến AD, BE, CF cũng là đường phân giác của tam giác ABC nên G cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Giải.
Cách 1. (h.3.61) Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = AD. AADC = AEDB (c.g.c) => AC = EB (1) và Aọ = Ê.
Theo giả thiết Aj = Aọ .
Do đó A ị = E nên tam giác ABE cân tại B suy ra AB = BE (2).
Từ(l)và (2) => AC = AB.
A
Hình 3.60
Vậy tam giác ABC cân.
Hình 3.62
Cách 2. (h.3.62) Kẻ DH 1 AB, DK1 AC.
D thuộc tia phân giác của góc A nên DH = DK.
Do đó ADHB= ADKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông),
suy ra B = C.	*
Vậy tam giác ABC cân.
Bài 43, Giải, (h.3.63) Có bốn điểm cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA:
Một điểm nằm trong tam giác ABC là điếm I (giao điểm ba đường phân giác các góc trong).
Ba điểm nằm ngoài tam giác ABC là D,
E, F (giao điểm của hai đường phân giác hai góc ngoài).
D. Bài tập luyện thêm
Cho tam giác ABC có góc A bằng 120° và AD, BE, CF là ba đường phân giác. Chứng minh:
DE là tia phân giác của góc ADC.
Tam giác DEF vuông.
Cho tam giác ABC cân tại A. Đường phân giác BD, CE của góc B và góc c cắt nhau tại o. Kẻ OK, OH lần lượt vuông góc với AC và AB. Chứng minh:
a)ABCD=ACBE; b) OB = OC;	c) OH = OK.
Cho tam giác ABC (AB < AC) có I là giao điểm các đường phân giác góc B, góc c. Tia AI cắt BC tại D. Kẻ IH vuông góc với BC. Chứng minh BIH = CID.
Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp sô'
(h.3.64)
BAC = 120° => CAx = BAy = 60°.
AD là đường phân giác của tam giác ABC
=> BAD = DAC = ị BAC = 60° .
2
Xét tam giác ABD có:
AC là đường phân giác góc ngoài (vì DAC = CAx = 60°)
BE là đường phân giác góc trong nên DE là đường phân giác của ADC (1).
Tương tự câu a, ta có DF là đường phân giác của ADB (2).
Từ (1), (2) và ADB; ADC là hai góc kề bù nên DE J_DF hay tam giác DEF vuông tại D.
Nhận xét
Nhiều bài toán tính số đo góc ta có thể vận dụng khéo léo tính chất ba đường phân giác. Bài toán này đã vận dụng khéo léo điểm E là giao điểm một phân giác trong và một phàn giác ngoài.
Sử dụng kĩ thuật trên, bạn có thể giải được bài toán khó sau : Cho tam giác ABC có góc B bằng 45°, góc c bằng 120°. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2BC. Tính góc ADC.
(h.3.65)
Xét hai tam giác BCD và CBE có
EBC = DCB ; BC cạnh chung; Bị' - C|
(vì y ABC = ACB ) => A BCD = A CBE (g.c.g).
b) B, =c, (vl |aBC = |aCB)
1 1 2 2
=> tam giác BOC cân tại o => OB = oc.
Tam giác ABC có BD; CE là đường phân giác cắt nhau tại o => AO là đường phàn giác BAC => OH = OK.
Hình 3.66
(h.3.66)
Tam giác ABC có BI, CI là các đường phân giác nên AI cũng là đường phân giác.
Tam giác AIC có CID = A!+C|
(tính chất góc ngoài của tam giác)
CID = 4 + 4 = 90°
2 2 2
Mặt khác BIH = 90° - B, = 90° -ặ suy ra BIH = CID .