Giải toán 7 Bài 4. Tình chất ba đường trung tuyến của tam giác

  • Bài 4. Tình chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 1
  • Bài 4. Tình chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 2
  • Bài 4. Tình chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 3
  • Bài 4. Tình chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 4
  • Bài 4. Tình chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 5
  • Bài 4. Tình chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 6
  • Bài 4. Tình chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 7
§4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYÊN CỦA TAM GIÁC
Tóm tốt kiến thức
Tính chất đồng quy của ba đưòng trung tuyến
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
Vị trí của trọng tâm Trọng tâm cúa tam giác cách mỗi đỉi
2
một khoang bãng — độ dài đường
trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
G là trọng tâm của tam giác ABC:
CG=|cF (h.3.30). 3
AG = ỊaD; BG=|bE;
3	3
Ví dụ giải toán
Nhân xét:
Những bài toán liên quan đến đường trung tuyến, bạn nên nghĩ đến tính chất trọng tâm tam giác.
Vận dụng kết quả trên bạn có thể chứng minh được bài toán khó sau: Cho tam giác ABC có AM, BN, CP là các đường trung tuyến. Chứng minh rằng
AM + BN + CP>|(AB + BC + CA).
c. Hưỏng dẫn giỏi bài tạp trong sách giáo khoa
GH 1
Bài 23. Đáp số. Khắng định đúng —77 = -7.
DH 3
Bài 24. Giải
a) MG = |mR ; GR=ỊmR ; GR=|mG. 3	3	2
b) iNS = 4NG ; NS=3GS ; NG = 2GS. 2
Hình 3.32
Bài 25. Giải, (h.3.32) Theo định ií Py-ta-go ta có BC2 = AB2+AC2 =32 +42 =25 = 52.
Suy ra BC = 5cm. Do đó AM = 7-cm (M là 2
trung điểm của BC )
AG = 7-AM =Ậ.T = T-(cm).
Hình 3.33
3	3 2	3
Bài 26. Giải, (h.3.33) Xét tam giác ABC cân tại A có các đường trung tuyến BD và CE.
Do AB = AC nên AE = EB = AD — DC.
A ABD = A ACE (c.g.c) => BD = CE.
Bài 27. Giải, (h.3.34)
GT
AE = EC = —AC
2
AF = FB =—AB
2
BE = CF
KL
A ABC cân tại đỉnh A
Chứng minh'.
A
Tacó: BG = |bE = |cF = CG; GE = ẬbE = ịcF = GF 3	3	3	3
BGF = CGE (đối đỉnh). Suy ra AGBF = AGCE =>BF = CE =>2BF = 2CE ^AB = AC.
Bài 28.
Vậy tam giác ABC cân đỉnh A.
Giải, (h.3.35)
ADEI = ADFI (c.c.c).
Từ a) ta có DIE = DIF. Ta lại có
DĨE + DĨF = 180o nên DIE = DIF = 90°.
Các góc đó là góc vuông.
IE = ^EF = ^ = 5(cm).
2 2
Tam giác DIE vuông tại I nên theo định lí Py-ta-go:
DI2 = DE2 - IE2 = 132 -52 = 169-25 = 144= 122
Bài 29.
Vậy DI = 12 cm.
Hướng dẫn : Áp dụng định lí ở bài tập 26.
Giải, (h.3.36) Tù' AB = AC, AF = FB và AE = EC, theo kết quá bài 26, ta có BE = CF (1) AB = BC, AF = FB, BD = DC
G'
Hình 3.37
Ta có AD = CF (2).
Từ (1) và (2) ta có AD = BE = CF (3). Theo tính chất của trọng tâm G ta có:
GA _ GB GC
AD ” BE " CF
Từ (3) và (4) suy ra GA = GB = GC.
Bài 30. Giải
a) (h.3.37) Gọi AD, BE, CF là các	A
đường trung tuyến của tam giác ABC.
Ta có:
BG = ỊbE (1).
3
GG' = AG = |aD (2).
3
GG' = AG = 2GD =>GD = DG'. ABDG' = ACDG (c.g.c)
=> BG'= CG =|cF (3).
3
Từ (1), (2), (3) suy ra các cạnh của 2 4 ;
tam giác BGG' băng — đường trung
tuyến tương ứng của tam giác ABC.
b) (h.3.38) Gọi GM, G'N là các đường trung tuyến của tam giác BGG'.
Ta có BD = -ị-BC (4).
2
ANGG' = A EGA (c.g.c)
=>G'N = AE = 4aC (5).
7 ĐHTT7/2-A ì
Chứng minh được BG' // CG =>GBM = BGF, mà BM = FG (vì BG' = CG), BG cạnh chung nên ABGM = AGBF (c.g.c)
=> GM = BF =>GM = |aB (6).
2
Từ (4), (5), (6) suy ra các đường trung tuyến của tam giác BGG' bằng một nửa cạnh cúa tam giác ABC.
D. Bài tạp luyện thêm
Cho tam giác ABC có AM, BN, CP là các đường trung tuyến. Biết rằng
_	3	
BN vuông góc với CP. Chứng minh AM = — BC .
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Chứng minh
AB + AC-BC AX< AB + AC 	—	< AM < —— .
Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Vẽ điểm D sao cho c là trung điểm của AD. Gọi N là trung điểm của BD. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.
(2).
Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp sô (h.3.39) Gọi G là trọng tàm của tam giác ABC ta có GM = -^AM (1).
gm=|bc
2
- Tam giác BGC vuông tại G, có GM là đường trung tuyến nên
Từ (1) và (2), suy ra: |aM=-BC 3	2
98
hay AM = — BC.
7 ĐHĨT7/2-B
Nhận xét. Từ bài toán trên, bạn có thể giải được bài toán hay và khó sau: Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G. Tìm quan hệ .giữa b và c để AD vuông góc với BE.
(h.3.40) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD.
Ta có A ABM = A DCM (c.g.c)
=>AB = CD.
Trong tam giác ACD có	B
AD < AC + CD (bất đẳng thức tam giác)
=> 2AM < AC + AB
AB + AC
=> AM <	— (1).
2
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: AB < AM + BM;
AC AB + AC < 2AM + (BM + CM)
=> AB + AC -BC AB + AC-BC < AM (2)
2
Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét. Từ bài toán trên, bạn có thể chứng minh được bài toán sau: Trong một tam giác, tổng ba đường trung tuyến nhỏ hơn chu vi và lớn hơn nửa chu vi của tam giác.
(h.3.41)
Tam giác ABD có CA = CD; BN = ND => BC; AN là đường trung tuyến BM = BC, mà BC là đường trung tuyến nên M là trọng tâm của tam giác ABD => A, M, N thẳng hàng.
Nhận xét. Chúng ta có thèm một cách chứng minh ba điểm thẳng hàng: Đỉnh tam giác, trung điểm cạnh đối diện và trọng tâm của tam giác là ba điếm thắng hàng.