Giải toán 7 Bài 7. Đa thức một biến

§7. ĐA THỨC MỘT BIÊN
Kiến thức Cần nhó
Đa thức một biến là tổng cứa những đon thức cùng một biến.
Bậc cúa đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.
Trong dạng thu gọn của đa thức: Hệ sô của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất, hệ sô hạng tử bậc không gọi là hệ số tự do.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Cho đa thức f(x) = l + 5x-3x2+4x3+5x2-6x + x3-5.
Sắp xếp các hạng tứ của f(x) theo luỹ thừa giảm dần của biên;
Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của f(x).
Giải, a) Thu gọn f(x)
f(x) = l + 5x-3x2 +4x3 +5x2 -6x + x3 -5
= (l-5) + (5x-6x) + (-3x2 +5x2) + ^4x3 +x3Ì
= -4-x + 2x2 +5x3 =5x3 +2x2 - x-4. b) Hệ số cao nhất là 5: Hệ số tự do là - 4.
Ví dụ 2. Cho đa thức P(x) = 2x3-3x2+5x-4-8x +10x2+6x3+ x4
Tìm hệ số bậc cao nhất, hệ số tự do:
Tính giá trị của P(x) tại X = 1; X = -2.
Giải.' a) P(x) = 2x3 -3x2 +5x - 4-8x + 10x2 +6x3 + X4
= x4+(óx3+2x3) + (l0x2 -3x2) + (5x-8x)-4
= X4+ 8x3+7x2-3x-4.
Hệ số bậc cao nhất là 1; hệ số tự do là - 4. b) Vớix= 1 thì P(l) = l4+8.13 + 7.12-3.1-4 = 9 .
Với x =-2 thì P(-2) = (-2)4+8(-2)3+7(-2)2-3(-2)-4
= 16 + 8(-8) + 7.4+ 3.2-4 =-18.'
c. Hưóng dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 39. Giíii
p(x) = 2 + 5x2 -3x3 + 4x2 -2x-x3 + 6x5
= 2 + 9x2 -4x3-2x + 6x5 = 6x5 -4x3 + 9x2 -2x + 2;
Các hệ số khác 0 cúa đa thức p(x) là: 6; -4; 9; -2; 2.
Bài 40. Giúi. Làm tương tự bài 39 ta có
Q(x) = -5x6 + 2x4 + 4x3 + 4x2 -4.X-1;
Các hệ số khác 0 của đa thức Q(x) là: -5; 2; 4; 4; -4; -1.
Bài 43. Giải. Bậc của đa thức là số in dậm trong bảng sau:
Đa thức
Bậc của đa thức
a) 5x2 -2x3 + X4 -3x2 -5x5 + l
-5
5
4
b) l5-2x
15
-2
1
c) 3x5 + X3 -3x5 + 1
3
5
1
d) -1
1
-1
0
D. Bài tạp luyện thêm
1. Số nào là bậc cua đa thức?
1) X2 + 2x -3x3 + 2x5 + 3x4 - 1
3
4
5
2) 2x6 + 2x5 - 4x6 + X5 + 2x6 - X3 +1
6
5
3
3) (2-x)2 +2x + x2 +3
2
1
0
4) 2x5+3x4-x6-x5 + 1
6
5
4
2. Điền vào báng sau cho thích hợp:
Đa thức
Hệ số bậc cao nhất
Hệ số tự do
Bậc của đa thức
1) X2-3x5+2x3+ 3x5-x + 3
2) X3 +2x5 -3x6 -(2x5 -2x6 -X3 ) + x6
3) (x3)2-x6+4-3x2+x
Thu gọn và sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa tăng dần của biến. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức:
P(x) = 2x7 -3x5 + 5x3 -6x + 3-4x3 -X4 +2x5 +2x7;
Q(x) = X6 -2x3 + 3x2 -7x + 4x3 -3x2 +6x-10.
2
Tính giá trị của da thức:
P(x) = 1 + X + X2 + x3 + ... + X2010 tại X = 1, X = -1.
Giả sử đa thức P(x) = ^2x3-3x2 + 2x +1) được sắp xếp theo luỹ thừa giâm dần của biến. Hãy tìm tổng các hệ số của nó.
Lời giải -Hướng dẫn - Đáp sô 1. Bậc của đa thức là số in đậm trong bảng sau:
1) X2 +2x-3x3 +2x5 +3x4 -1
3
4
5
2) 2x6+2x5-4x6+x5+2x6-X3+1
6
5
3
3) (2-x)2 +2.X + X2 +3
2
1
0
4) 2x5+3x4-X6-X5 +1
6
5
4
2.
Đa thức
Hệ số bậc cao nhất
Hệ số tự do
Bậc của đa thức
1) X2-3x5+2x3+3x5-x + 3
2
3
3
2) x3+2x5-3x6-(2x5-2x6-x3) + x6
2
0
3
3) (x3)2-x6+4-3x2 + x
-3
4
2
3. a) P(x) = 2x7-3x5+5x3-6x+ 3-4x3-X4+2x'S+2x7
= 3-6x + ^5x3 -4x3 j-x4 +(-3x5 +2x5 j + ^2x7 +2x7 j = 3-6x + x3 -X4 -X5 +4x7.
Bậc cúa P(x) là 7;	Hệ số cao nhất là 4; Hệ số tự do là 3.
b) Q(x) = x6 -2x3+3x2-7x + ịx3-3x2+6x-10 2
= -10 + (-7x + 6x) + (3x2-3x2) + Í-2x3+|x3^ + x6
= -10-x-ịx3+x6.
2
Bậc của Q(x) là 6;	Hệ số cao nhất là 1; Hệ số tự do là - 10.
Với X = 1. ta có P(x) = l + x + x2 + x3 +... + x2l,ll) = l + l + l + l + ...+ l. Vì P(x) có 2011 hạng tử nên P(l) = 2011.
Với X = -1 ta có
P(-l) = l + (-l) + (-l)2+(-l)3 +... + (-1)2008 +(-l)2009 +(-l)2010 = 1-1 + 1-1 + ...+ 1-1 + 1.
P(x) có 2011 hạng tú nèn P(-l) = 1.
Nhận xét: Tống các hệ số của P(x) sau khi sắp xếp theo luỹ thừa giảm chính bàng giá trị cua P(x) tại X = 1.
Vậy tống các hệ số là: P(l)-^2.13-3.12+2.1 + 1) =2S =256.