Giải toán 7 Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG m
A. Tóm tắt kiến thức
Quan hệ giữa các yếu tô trong tam giác
Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.
Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đắng thức tam giác.
Các đường đồng quy của tam giác
Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
Tính chất tia phân giác của một góc. Tính chất ba đường phân giác của tam giác.
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng. Tính chất ba đường trung trực của tam giác.
Tính chất đường cao của tam giác.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC có A = 90° và BD là đường phân giác. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BẦ.
Chứng minh AD = DE và BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE.
Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh AE là tia phân giác của góc HAC.
Chứng minh AD < CD.
Gọi tia Cx là tia đối của tia CB. Tia phân giác của góc ACx cắt đường thẳng BD tại K. Tính sô' đo góc BAK.
Giải. (h.3.101)
Xét hai tam giác ABD và EBD có: BD chung;
ABD = DBE ; BE = BA.
Do đó A ABD = AEBD (c.g.c) nên AD = DE.
Suy ra D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AE (1).
Mặt khác BA = BE nên B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AE
(2).
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE.
Từ A ABD = AEBD suy ra BED = BAD hay BED = 90°
Lại có AH // DE (1 BC) => ẨỊ = Ej.
Mà AD = DE hay tam giác AED cân tại D nên Aọ = Ej.
Suy ra Aj = Aọ hay tia AE là phân giác của góc HAC.
Tam giác DEC vuông tại c suy ra DE < DC do đó AD < DC.
Tam giác ABC .có BD là đường phân giác trong của ABC; CK là đường phân giác ngoài của góc ACx nên AK là đường phân giác ngoài của CAy hay CÃK=ịcÃy = 45° do đó BAK = 135°.
Nhận xét. Khi giải bài toán có nhiều câu hỏi, ta nên khai thác các yếu tố đã làm ở câu trước đó.
Khi tính số đo góc, nên lưu ý đến tính chất ba đường phân giác đổng quy.
c. Hương dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 63. ơ/ả/. (h.3.102)
A
Hình 3.102
2 2
b) Tam giác ADE có D < E (câu a) nên AE < AD.
Tam giác ABC có AC < AB nên Bj < Cj. Ta có D = ^-B| , E = ^-C| nên D < E .
Hình 3.103
Khi N nhọn (h.3.103a) hoặc N tù (h.3.103b), ta đều có: Đường xiên MN < MP nên hình chiếu HN < HP.
NMH = 90° - MNH; PMH = 90°-MPH;
MNH > MPH (khi N nhọn thì MNH > MPH do trong tam giác MNP ta có MP > MN; khi N tù thì MNH > MPH do MNH là góc ngoài của tam giác MNP). Suy ra NMH < PMH.
Bài 65. Giẩi. Với cạnh lớn nhất là 5cm, có tam giác mà ba cạnh dài: 2cm, 4cm, 5cm; 3cm, 4cm, 5cm.
Với cạnh lớn nhất là 4cm, có tam giác mà ba cạnh dài: 2cm, 3cm, 4cm.
Nhận xét. Để không bị sót hoặc rối, bạn nên chọn độ dài cạnh lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trước, sau đó chọn hai cạnh còn lại sao cho thoả mãn bất đẳng thức tam giác.
M e [AC] và M e [BD], khi đó M là giao điểm của AC và BD (điểm o trên hình 3.104.
Bài 67
Nhận xét. Ki thuật của bài là vận dụng quy tắc ba điểm. 'Giải, (h.3.105) s
a)
’MPQ
= 2 (vì đáy MQ bằng 2RQ,
°RPQ
chung chiều cao.từ P).
b) MNQ = 2 (lí do tương tự). SRNQ
Hình 3.105
Srpq = Srnq (yì hai đáy NR và RP bằng nhau, chung chiều cao từ Q). Do đó
Bài 68.
Sqnp = 2SRPQ = 2SRNq . Từ đó suy ra- SọMN = SọNp = SọpM.
Giải
(h.3.106) M là giao điểm của tia phân giác của góc xOy và đường trung trực của AB.
(h.3.107) Nếu OA = OB thì tia phân giác của góc xOy nằm trên đường trung trực của AB. Nên có vô số điểm M thoả mãn các điều kiện trong câu a.
Nhận xét. Để tìm điểm thoả mãn hai yêu cầu nào đó, ta nên tìm tập hợp điểm thoả mãn yêu cầu thứ nhất, sau đó tìm tập hợp điểm thoả mãn yêu cầu thứ hai. Điểm thoả mãn đề bài là giao điểm của hai tập hợp trên.
Gọi o là giao điểm của a và b. H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến SQ.
Vì o là trực tâm của tam giác MSQ do đó đường cao MH đi qua o.
Bài 70.
Giải, (h.3.109)
p/
1
\ H
a
M
b
R
Q
s
M thuộc đường trung trực của AB nên MA = MB. Do đó
NB = NM + MB = NM + MA.
Tam giác NMA có NA < NM + MÃ nên NA < NB.
Tương tự câu a) ta có N'B < N'A
Hình 3.108
Nếu L thuộc d thì LA = LB, trái giả
thiết. Nếu LePg thì LB < LA (theo câu b), trái với giả thiết. Vậy để
LA < LB thì L thuộc PA.
D. Bài tạp luyện thêm
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy M; N thứ tự thuộc các đoạn AB; AC. Chứng minh rằng MN < a .
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm giữa B và c. Trên tia đối tia CB lấy điểm N sao cho CN = BM.
Chứng minh rằng AM + AN > AB + AC.
Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Hai đường trung trực của BD và AC cắt nhau tại E. Chứng minh:
AAEB = ACED;
Tia AE là tia phân giác của góc BAC.
Hình 3.110
Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH. Kẻ HD ± AB, HE 1 AC?
Chứng minh AD = AE và AH là đường trung trực của đoạn DE.
Trên tia đối của tia HD lấy điểm F sao cho HF = HD. Chứng minh CF 1DH.
Gọi K là giao điểm của đường thẳng EH và AB. Gọi I là trực tâm của tam giác AHK. Chứng minh KI // DE.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô
(h.3.110)
Nếu N = c =>BN = BC = a.
Nếu N không trùng với c
=>N, >Â ^Nj >C=>BN<BC = a.
Vậy N thuộc cạnh AC thì BN <a (1).
Nếu M = B =>MN = BN.
Nếu M không trùng với B
=> M| > A = 60° và Bị Bj < Mj
Tam giác BMN có B, MN MN < BN (2).
Từ (1) và (2) suy ra MN < a.
Nhận xét. Khi so sánh hai đoạn thẳng không có điểm chung thì sử dụng đoạn thẳng trung gian là yếu tố quyết định.
(h.3.111)
Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA.
Xét hai tam giác ABM và DCN có : AB = CD (= AC ); B] = c2 (= Cj )
BM = CN => A ABM = ADCN (c.g.c)
=>AM = DN.
- Xét tam giác AND có AN + ND > AD => AN + AM > AC + AB.
(h.3.112)
a) E thuộc đường trung trực của BD => EB = ED.
E thuộc đường trung trực của AC => EA = EC. .
Xét hai tam giác ABE và CDE có: EB = ED; EA = EC; AB = CD => A AEB = ACED (c.c.c).
A AEB = A CED => BAE = DCE và EA = EC => A EAC cân tại E => ECA = EAC
=> BAE - CAE => tia AE là tia phân giác của BAC.
(h.3.113)
Tam giác ABC cân có AH là đường cao =>AH là đường phân giác và là đường trung trực.
Do AADH = AAEH (cạnh huyền, góc nhọn)
^AD = AE; HD = HE
=> AH là đường trung trực của DE.
Xét hai tam giác BDH và CFH có
HB = HC; BHD = CHF ; HD = HF. => A BDH = A CFH (c.g.c)
=> CFH = BDH => CFH = 90°
=> CF ± DH .
I là trực tâm òủa tam giác ÀHK => KI 1AH .
Mà DE 1AH=>KI//DE.