Giải toán 7 BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM

BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM - PHẦN ĐẠI số
A. Hưóng dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 1. a) 9,6.2^-1 2.125-lẶ 1: - = 9,6.2,5-| 250-H I: ị 2 l	12 7 4	l 127 4
18	18 18 .18
5-28,8 _ 23,8 _ 119 _ 29
18 - 18 - 90 - 90'
0 (i + 0,8-l|). (2,3.44-1,28)
P 8 _44 f 23 '107	128 A
u + 10 3 7 ' 110 + 25	100 J
15 + 24-40 23.10 + 107.4-128	1 530	53
Bài 2. a) ịxị + X = 0 => |x| =-X => X |x| = X => X > 0.
Bài 3. Cách 1: Ta có a + c = 7—7 (a + c)(b -d) = (a-c)(b + d) a — c b — d
 ab - ad + bc - cd = ab + ad - bc - cd
 ab - ad + bc - cd - ab - ad + bc + cd = 0 -2ađ + 2bc = 0
,	.	. . a c
 ad i= bc — = — •
b d
Vậy từ tỉ lệ thức 4 = 4 (a * c, b * ± d) suy ra được tỉ lệ thức b . d
a+c b+d a-c b-d
Cách 2: Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a _ c _ a + c _ a-c b - d - b + d - b-d '
a + c a-c 	 a + c b + d
ừ 	 = ——- suy ra —— = -	.
Bài 4.
b + d b-d	a-c b-d
Gọi số tiền lãi của mỗi đơn vị lần lượt là a, b, c (triệu đồng)
a b c ..i „ , u . .
Ta CÓ — = —= — và a + b + c = 560.
5	7
e	 a b c a
Suy ra —=—=—=—
= 40.
b c a + b + c 560
2	5	7	2 + 5 + 7	14
Do đó a = 80; b = 200; c = 280 .
Vậy số lãi của ba đơn vị lần lượt là: 80; 200; 280 triệu đồng.
Bài 5.
Xét điểm A
0 ; - , thay X = 0 vào biêu thức y = -2x + — ta có
y = -2.0 + 4 = 4. Vậy tọa độ điểm A thoả mãn biểu thức y = -2x + — 3	3	3
do đó điểm A thuộc đồ thị hàm số.-
Tương tự bÍ ; -2 I không thuộc đồ thị hàm số.
; 0 thuộc đồ thi hàm số.
Vì đồ thị của hàm số y = ax đi qua điểm M(-2 ;-3) nên -3 = -2a do
3
đó a = —.
2
a) Tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 tuổi đến 10 tuổi đi học Tiểu học:
+ Vùng Tây Nguyên là 92,29%.
+ Vùng Đồng bằng sông cửu Long là 87,81%.
b) Vùng Đồng bằng sông Hồng có tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 tuổi đến 10 tuổi đi học Tiểu học cao nhất.
Vùng Đồng bằng sông Cửu Long có tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 tuổi đến 10 tuổi đi học Tiểu học thấp nhất.
8. a) Dấu hiệu ở đây là “sản lượng vụ mùa của một xã”. Bảng "tần số"
Sản lượng
31
34
35
36
38
40
42
44
Tần số
10
20
30
15
10
10
5
20
Biểu diễn bằng biểu đồ đoạn thẳng (học sinh tự vẽ biểu đồ).
Mốt của dấu hiệu là 35.
Số trung bình cộng của dấu hiệu là:
-	31.10 + 34.20 + 35.30 + 36.15 + 38.10 + 40.10 + 42.5 + 44.20
X. —	—
120
4450
= 777^-37,08 tạ/ha.
120
9. Giá trị của biểu thức 2,7c2-3,5c tại c = 0,7 là
2,7.(0,7)2 -3,5.0,7 = 2,7.0,49-3,5.0,7 = 1,323-2,45 = -1,127 .
2	2
Giá trị của biểu thức tại c = — bằng	-1 —-.
15
, í,.	49
Giá trị của biếu thức tại c = 1 -7 băng .
; 6 120
Bài 10. a) A+B-C=
= (x2-2x-y2+3y-l) + (-2x2+3y2-5x + y + 3)
-^3x2 -2xy + 7y2 -3x-5y-ój
= x2 -2x-y2 +3y-l-2x2 +3y2 - 5x + y + 3-3x2 +2xy-7y2 + 3x + 5y+ 6
= -4x2 -4x + 9y + 8 + 2xy-5y2.
A - B + c =
= (x2 -2x-y2 +3y-l)-(-2x2 +3y2 -5x + y + 3)
+ ^3x2 -2xy + 7y2 -3x-5y-ó)
= x2 -2x-y2 + 3y-l + 2x2 -3y2 +5x-y-3 + 3x2 -2xy + 7y2 -3x-5y-6
= 6x2 -3y-2xy-10 + 3y2
-A + B + C =
= -(x2 -2x-y2 +3y-l) + (-2x2 +3y2 -5x + y + 3)
+ (3x2 -2xy + 7y2 -3x-5y-ó)
= -x2 +2x + y2 -3y + l-2x2 +3y2 -5x + y + 3 + 3x2 -2xy + 7y2-3x-5y.-6
= lly2 -6x-7y-2-2xy Bài 11. a) (2x-3)-(x-5) = (x + 2)-(x-l)
2x-3-x + 5 = x + 2-x + l2x-x-x + x = 3-5 + 2 + lx = l. Tập nghiệm của phương trình là s =	.
b) 2(x-l)-5(x + 2) = -.10=>2x-2-5x-10 = —10
=> -3x = 2 => X =	.
Tập nghiệm của phương trình là s = < j .
2
Bài 12. Vì đa thức có nghiêm là-7 nên a 4	+ 5.-7-3 = 0
2 uj 2
a 5 „ n a + 10-12 n -	_	0
=> — + 7; - 3 = 0 =>	-—— = 0=>a-2 = 0=>a = 2.
2	4
Bài 13. a) Có 3-2x = 0=>2x = 3=>x = Ậ.
2
3
Nghiệm của đa thức là x = 2 •
b) Ta có X2 > 0, Vx => X2 + 2 > 2, Vx => X2 + 2 > 0, Vx do đó đa thức Q(x) = X +2 không có nghiệm.
B. Bài tạp luyện thêm
Tim X, biết
4,4 : l,2 = 0,8x : 24 ;	b) -^- = —^7’
3-x	5x-3
Tìm ba số X, y, z, biết -7- = 77, ^- = —~ và x + y + z = 40.
2	5 3	10
Người ta dùng loại gạch kích thước 30cm X 30cm để lát nền nhà, giá mỗi viên là 5000 đồng. Tính số tiền phải dùng để mua gạch lát kín nền nhà có kích thước.
3m X 6m;
4m X 9m.
Cho biết tổng diện tích giữa các mép viên gạch là không đáng kể.
a) Đồ thị của hàm số y = ax đi qua điểm A(4 ; - 6). Xác định hệ số a;
Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được;
Điểm B(- 8 ; 12), C(- 4 ; 5) có thuộc đồ thị hàm số đó không?
11.ĐHTT7/2-A
5. Một giáo viên theo dõi thời gian làm một bài tập tính theo phút của các em học sinh lớp 7A và ghi lại như sau:
10
5
8
8
9
9
8
9
9
14
8
5
7
8
10
9
8
• 10
7
7
14
8
9
8
9
9
9
9
10
5
5
5
10
Dấu hiệu ớ đây là gì?
Lập báng “Tần số” và nhận xét;
Tính số trung bình cộng và tìm mốt dấu hiệu.
Cho các đa thức p(x) = X3-3x2-4x + 5;
Q(x) = -4x3+2x2+3x-2;	R(x) = x2-3x + l
Tính:
P(x) + Q(x)-R(x);	b) P(x)-Q(x)-R(x).
Tìm X, biết
x-1 - —x+3
■2x+ — =—-X + 3
Lòi giải - Hướng dẩn - Đáp số
1. a) 4,4:1,2 = 0,8x : 24 => 1,2.0,8x = 4,4.24 => X = 110.
b)
-2
——— = -——- 4(5x -3) = -2(3 -x) 20x -12 = -6 + 2x. 3 X 5 X 3
z
15	50
o TVx_y	.......... x	y	y	z 	 y
2. 1 a có — = ^ suy ra — - ~; Từ - — suy ra — - 2	5	6	15	3	10	15
Do đó 4 =	= A hay
6	15	50
6	15	50	6 + 15 + 50	71
71
71
12
71
Diện tích của mỗi viên gạch là 30.30 = 900 (cm2) = 0,09(m2).
Diện tích của nền nhà là 3.6 = 18(m2).
18 *
Số viên gạch cần mua là _	= 200 (viên).
0,09
Số tiền phải trả là 200.5000 = 1000000 (đồng).
Diện tích của nền nhà là 4.9 = 36 (m2).
Cách 1: Số viên gạch cần mua là - 400 (viên).
0,09
Số tiền phải trả là 400.5000 = 2000000 (đồng).
Cách 2: Do diện tích nhà gấp đôi diện tích nhà ở câu a) nên số tiền phảỉ trả gấp.đôi tức là 2000000 đồng.
5. a) Dấu hiệu ở đây là “ thời gian làm bài tập của học sinh” b) Lập bảng “Tần số” và nhận xét
Các giá trị (x)
5
7
8
9
10
14
Tần số (n)
5
3
8
10
5
2
Lớp có 33 học sinh.
Đa số học sinh làm bài mất 9 phút.
- Thời gian làm bài nhanh nhất là 5 phút, chậm nhất là 14 phút,
Tính sộ' trung bình cộng’và tìm mốt dấu hiệu
8,42 . Mốt của dấu hiệu là 9.
5.5+ 7.3+ 8.8+ 9.10+ 10.5+ 14.2
33
6, a) P(x) + Q(x)-R(x) = -3x3-2x2+2x + 2.
P(x)-Q(x)-R(x) = 5x3-6x2-4x + 6.
7- (ìx_i)’(?x+3)+(“2x+í)=4x+3
, 4 „ „	1	1
=>4x-1-4x-3-2x+4 = -4x+3
5	5	2
.. 4..	...	1	, . . 1	. .	9	34	34
=>^-x- — x-2x + — x = l + 3-^ + 3=>	X =—- => X =	-
5	2	5	5	5	9
Vậy X = -3~.
9
PHẦNHÌNHHỌC
A. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC bằng 20°. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính số đo góc BDC.
Giải, (h.3.114)
Cách 1. (h.3.114a)
Tam giác ABC cân tại A, BAC = 20° nên ABC = ACB = 80° .
Dựng tam giác IBC đều vào bên trong tam giác ABC suy ra ACI = 20° nên AIAC = ADCA (c.g.c)
=> Aọ — Cị, mà dễ có A. - 10° => Cị = 10° .
B
Tam giác BED cân
(vì BE = BD) => BED = BDE.
Tam giác BDC cân tại D (vì BD = CD) =>BDE = 2BCD (tính chất góc ngoài) => BEC = 2BCE .
= Aj =>Cị = A2 .
Tam giác ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến
=> AI = IC => A AIC cân tại I => Cj Mà BEC = 2BCE => BEC = 2ẨỊ .
Mặt khác BEC = A7 + Fj (tính chất góc ngoài)
=> 2Aọ - Aọ + Fị => Aọ = F| => A AEF cân tại E.
Ta có BF = BE + EF, AC = CD + AD.
Mà BE = CD; EF = AD (= AE) => BF = AC.
(h.3.131)	.
Tam giác ABC cân tại A
=> BAC = 180°-2ACB . Tam giác AMC cân tại M => AMC = 180°-2ACM
=>BAC = AMC.
abc = mac(=acb)
=> ABM = CAN .
A ABM và A CAN có AB = AC; ABM = CAN ; BM = AN => A ABM = A CAN (c.g.c) => AM = CN.
Mà AM = MC =>CN = CM.
CM 1 CN tam giác CMN vuông cân tại c.
3, (h.3.129) a) Tam giác BMP vuông tại M có BR = RP.
=>MR là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
=>MR = BR =>tam giác BRM cân tại R => RBM = RMB .
Mật khác RBM = ACB (vì tam giác ABC cân tại A)
=>RMB = ACB, mà hai góc ớ vị trí đồng vị nên MR // AC.
- Chứng minh tương tự MS // AB.
Tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là đường phán
giác => A| = A2 .
MR // AC => Aọ = I| (so le trong) => A| = I|
=> tam giác ARI cân tại R.
AARS = AMSR (g.c.g) => AS = MR
Xét hai tam giác ARS và RIB có AS = BR; BRI = SAR ; RI = RA > A ARS = A RIB (c.g.c) => RS = BI.
A| = P| (đồng vị ); A2 = Q! (so le trong)
Mà A| = At => P| = Q| => tam giác APQ cân tại A.
Kẻ AK 1 PQ => KP = KQ.
Ta có MP + MQ = MK + KP + MK - KQ = 2MK
=> MP + MQ = 2AH không đổi khi M chuyển động.
(h.3.130)
D thuộc đường trung trực của cạnh BC => CD = BD.
- BA là đường trung trực của đoạn thẳng DE => BD = BE. Suy ra CD = BE.
Vi A BAE = A DAC (c.g.c) => Dị = Bị .
D] + Ij = Bj + I2 mà Dj + lị = 90° => Bj + lọ = 90° => tam giác BIO vuông tại o => BE 1 CD.
(h.3.127) Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông ABOC; ACOE; AEOD; ADOB.
BD2 + CE2 = BO2 + OD2 + CO2 + OE2 DE2 + BC2 = BO2 + oc2 + DO2 + EO2 =>BD2 + CE2 =DE2 + BC2.
tại M. Ta có DAE = ACM (cùng bù với BAC )
AE = AC ; Ểị = A,
(cùng phụ với A2 )
=> A AED = A CAM (g.c.g)
=>AD = CM.
Tam giác ABK và MCK có BAK = CMK ; AB = CM (= AD)
ABK = MCK => AABK = AMCK (g.c.g) =>BK = CK.
Hình 3.125: Ta có:
3x + 2x + X + 60° = 180° => 6x = 120°
>x = 20°.
Hình 3.126: Ta có ACb = 40° +60° = 100°.
Mà ACb + aAC = 180° (cặp góc trong cùng phía) X + 60° + 100°= 180° =>x = 20°.
Cho tam giác ABC cân tại A. Từ điểm M bất kì trên cạnh BC dựng đường thẳng vuông góc với BC, cắt các đường thảng AB, AC lần lượt tại p và Q. Gọi R và s là trung điểm của đoạn thẳng BP và QC.
Chứng minh MR // AC và MS // AB.
Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC cắt đường thẳng MR tại I. Chứng minh tam giác ARI cân và BI = RS.
Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng độ dài MP + MQ không đổi.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB). Gọi I là trung điểm cứa BC. Vẽ trung trực của cạnh BC cắt AC tại D. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi F là giao điểm của BE và đường thẳng AI. Chứng minh:
CD = BE;
BEC = 2.BCE;
Tam giác AEF càn;	p
AC = BF.
Cho tam giác ABC cân tại A (AB > BC). Đường trung trực của cạnh AC cắt đường thảng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM.
Chúng minh AMC = BAC .
Chứng minh CM = CN.
Muốn cho CM ±CN thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì ?
1.
Lòi giải - Hướng dản - Đáp số (h.3.127)
a) DÃC= BÃẼ(=90°+BÃc)
=> A BAE = A DAC (c.g.c)
=> DC = BE.
Gọi CD cắt AB, BE lấn lượt tại I và o.
B
Bài 10. HD. Áp dụng hài tập 69.
Bài 11. Giải, (h.3.124) Kẻ đường trung trực của AB, ta tô màu phần mặt phẳng trong tam giác gồm các điểm M mà MA < MB.
Kẻ đường trung trực của BC, ta tô màu phần mặt phẳng trong tam giác gồm các điểm M mà MB < MC.
Phần trong tam giác mà được tô màu
hai lần (đó là phần tô trên hình 3.124) là phần phải tìm.
c. Bài tạp luyện thêm
Cho tam giác ABC có A <90°. về phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác BAD; CAE vuông cân tại A. Chứng minh rằng :
DC = BE và DC1BE.
BD2+CE2 = BC2 + DE2 .
Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Tìm số đo X trong mỗi hình sau:
Bài 7.
Bài 8.
Bài 9.
Tam giác AEC có Ê = 180°-Â-C = 180°-31°-88° = 61°. b)Tam giác DEC có Dị = 180°-E-C, = 180°-61°-57° = 62°
Trong tam giác DEC, =62°, Ê = 61°, C = 57°, nên cạnh CE (đối diện với Dj ) là cạnh lớn nhất.
Giải, (h.3.120)
AOM=ẬaOB mà AOB < 90° nên
2
ẤÕM 45° .
A AOM có OMA > AOM nên OA > MA
A OMB có OMB > 90° nên OB > OM Giải, (h.3.121)
A ABE = A HBE (cạnh huyền - góc nhọn).
AABE= AHBE
=> BA = BH, EA = EH. Suy ra BE là đường trung trực cùa AE1.
EA = EH và Ej = Eo .
A AẸK = A HEC (g.c.g) => EK = EC.
Ta có EH < EC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) mà ẤE - EH nên AE < EC.
Giải. (h.3.122) Ta có B = Aị, C = Aọ mà B + A| + Ao + C = 180° nên BAC = 90°.
Vẽ đường vuông góc (xem h.3.123): Vẽ các cung tâm A và tạm B cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại c. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Nối DA, ta có DA TAB.
a)	'	AB//CD
b)	■ C)
Hình 3.1 18
Xét hình 3.118b:
Kẻ Cz trong góc BCD song song với AB thì Cz // DE.
Do đó ABC = BCz ; EDC = DCz
EDC + ABC = X + 27° , DCz +BCz = BCD = 112°,
=> X = 112°-27° = 85°.
Nlìận xét. Bạn có thể giải theo phương pháp ớ bài 2.
Trong hình 3.118c:
Trong tam giác ABC cân ở B nên: BAC = BCA 180° -2BAC + X
Vì AB // CD nên BAC = DCz = 67°	180° = 2.67° + X
Bài 6.
=> X = 180° -134° =46°.
Giải, (h.3.119) ABD là góc ngoài của tam giác DBC nên D2 =ABD-C, =88°-31° =57°.
BD // CE => c2 =	= 5.7° (so le
trong).
Vậy DCE = 57° .
Tam giác ADC cân tại D nên A = Cj =31°.
a // b =>K = C = 44° (so le trong).
COD là góc ngoài của tam giác OKD nên
COD = K + ODK = 44° + 48° =92°.
Nhận xét. Bằng cách nối CD, bạn cũng có thể tính được góc COD.
Vậy CE 1 CD.
Ta có CE = AD (cùng bằng OD); EB = CD (cùng bằng OE) nên A CDA = A BEC (c.g.c) suy ra CA = CB.
ACDA = ADCE (c.g.c)=> Cj = Dt . Do đó CA// DE (vì hai góc so le trong bằng nhau).
Tương tự câu d) ta có CB // DE. Từ c) ta có CA // DE và CB // DE nên hai đường thẳng CA, CB trùng nhau. Do đó A, B, c là ba điểm thẳng hàng.
9
Bài 5. Giải
a) Xét hình 3.118a: ACB = 45°(tam giác ACB vuông cân đỉnh A). Tam giác CBD cân đỉnh c.
Do đó X + CBD = 2x = ACB = 45° (góc ngoài tại c của tam giác CBD).
Vậy X = ị45° =22°30'.
• Dựa vào kĩ thuật trên, ta có thể giải được bài toán đảo: Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC bằng 20°, BC = 2 cm. Lấy điểm D trên AB sao cho góc ACD bằng 10°. Tính AD.
B. Hưỏng dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
M
ẹ/ a
so/
/	b
N
/ Q
Bài 2. Giải, (h.3.115)
Các đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng MN nên a // b.
NQP và QPM là hai góc trong cùng phía tạo bởi đường thẳng PQ cắt hai đường thẳng song song nên chúng bù nhau.
■ NQP + QPM = 180° =ỉ> NQP = 180°-QPM = 180°-50° = 130° . Bài 3. Giải.
Om//a
a//b
Cách 1. (h.3.1 lóa) Kẻ Om // a thì Oị = C = 44° (so le trong).
>=>0m//b =>02 + 0 = 180°.
o2 =180°-132° =48°. Vậy COD = 44° + 48° = 92°.
Hình 3.116
Cách 2. (h.3.116b) Gọi K là giao điểm của co và b
Mặt khác BDC = BAC + Cj = 30°.
Hình 3.114
Cức/z 2. (h.3.1.14b).
Dựng tam giác MAD đều ra phía ngoài tam giác ABC, ta có MAC = 80° , nên AMAC = ABCA (c.g.c)
Suy ra CM = CA (= AB) => AADC = AMĐC =^> C, = 10° , từ đó suy ra BDC = Â, + C = 30°.
Cádỉ 3. (h.3.114c).
Dựng tam giác ABN đều, sao cho N cùng phía với c bờ AB, suy ra Bị = 20° nên AADC = ABCN(c.g.c)^ c2 = N, .
Mặt khác AC = AN, CAN = 40° : ANC = 70° do đó Nj = 10°, từ đó suy ra BDC = 30°.
Nhận xét
Đây là bài toán hay và khó. Bài toán có nhiều cách giải.
Những bài toán tính số đo góc, bạn nên nhớ tới các tam giác đặc biệt: Tam giác đều, tam giác vuông cân, tam giác vuông có góc 60°,...
AMC = 45° o BAC = 45° .
Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện BAC = 45°. Nlỉận xét
Những bài toán có yếu tố đường trung trực thường liên quan đến tam giác cân và ngược lại, bạn nên nhớ để vận dụng được các yếu tố khác.
Những câu hỏi tìm điều kiện để thoả mãn yêu cầu nào đó, ta nên dùng yêu cầu đó như một giả thiết và biến đổi tương đương đê’ đến được yêu cáu thêm của đề bài.