Giải toán 7 Bài 5. Tính chất tia phân giác của một góc

§5. TÍNH CHẤT TIA PHẦN GIÁC CỦA MỘT GÓC
A. Tóm tắt kiến thức
Định lí 1. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
> => MA = MB (h.3.42)	/
M
c
B
Hỉnh 3.42
xOz = zOy M e Oz
MA 1 Ox ; MB 1 Oy
Định lí 2
Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác BCD vuông cân tại D. Chứng minh AD là tia phân giác BAC .
Giải. (h.3.43) Hạ DI 1 AB; DH 1 AC.
Ta có DI//AC nên DI 1DH.
Hình 3.43
-Xét ABDI và ACDH có:
ĩ = H = 90°, BD = DC (gt)
Dị = D3 (cùng phụ với Dọ )
nên ABDI = ACDH suy ra DI - DH do đó AD là tia phân giác cùa BAC .
Nhận xét
Vì chưa có khoảng cách từ D đến AB và AC nên việc vẽ DI và DH là suy luận tự nhiên.
Sai lầm có thể mắc là BD = CD thì kết luận ngay AD là tia phân
giác của BAC . Sai lầm ở chỗ DB và DC không vuông góc với AB và AC.
c. Hưỏng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 31.
Bài 32.
Giải. M cách đều hai cạnh Ox và Oy của góc xOy (hai khoảng cách đó bằng nhau vì đều là khoảng cách giữa hai cạnh song song cúa thước ). Vậy theo định lí 2, điểm M thuộc tia phàn giác của góc xOy và OM là
tia phân giác của góc xOy.
Giải, (h.3.44) Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài CBx và BCy.
Kẻ KD1 Bx , KE 1 BC , KF 1 Cy.
K thuộc tia phàn giác của góc CBx nên KD = KE (1).
K thuộc tia phân giác của góc BCy nên KE = KF (2).
Từ (1) và (2) suy ra KD = KF. Do đó K thuộc tia phân giác của góc A.
Nhận xét. Muốn chứng minh điểm K thuộc tia phàn giác của góc A thì cẳn chứng minh K cách đều hai cạnh của góc A (KD = KF).
Bài 33. Giải
Ot và Ot' là các tia phân giác của hai góc kề bù xOy và xOy' nên tOt' = 90° . Chứng minh:
xOt + xôt' = I xôy +1 xõy' = I (xôy + xOy') = 1.180° = 90° .
Suy ra tót' = 90°.
Nếu M thuộc tia Ot thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Nếu M thuộc tia đối của tia Ot thì M cách đều hai cạnh Ox'.Oy' của góc x'Oy'. Vậy nếu M thuộc đường thẳng Ot thì M cách đều hai đường tháng xx' và yy'.
Tương tự, nếu M thuộc đường thẳng Ot' thì M cách đều hai đường thẳng xx' và yy'.
Xét điểm M cách đều hai đường thẳng xx' và yyf:
Nêu M nằm trong góc xOy thì M thuộc tia Ot.
Nếu M nằm trong góc x'Oy' thì M thuộc tia đối của tia Ot.
Nếu M năm trong góc xOy' thì M thuộc tia Ot'.
Nếu M nằm trong góc x'Oy thì M thuộc tia đối của tia Ot'.
Khi M = 0 thì khoáng cách từ M đến xx' và đến yy' đều bằng 0.
Tập hợp các điếm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx', yy' là hai đường thẳng Ot và Ot', đó là các đường phân giác của các gồc tạo bới
hai đường thẳng xx', yy'. Bài 34. Giai, (h.3.45)
AOBC = AODA (c.g.c) => BC = AD.
A OBC = A ODA (câu a)
Hình 3:45
Cj - Aj
IA = IC IB = ID.
c2 — A 2.
AIAB = AICD (g.c.g):
,	c) A IOA - A IOC (c.c.c) => O| = o7
OI là tia phân giác cúa góc xOy.
Bài 35. Giải, (h.3.46)
Cách 1. Áp dụng bài 34 (SGK), dùng thước vẽ các điếm A, B, c, D, I (xem hình vẽ ở bài 34). Tia OI là tia phàn giác của góc xOy.
Cách 2. Dùng thước vẽ được các điểm A	Hình 3.46
trên Ox, B trên Oy sao cho OA = OB. Dùng thước vẽ được trung điểm c của AB.
AAOC = ABOC (c.c.c) => AOC = BOC nên oc cũng là đường phân giác của góc o.
D. Bài tạp luyện thêm
Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A, trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường vuông góc với Ox kẻ từ A, cắt Oy tại c. Đường vuông góc với Oy kẻ từ B, cắt Ox tại D và cắt AC tại I. Đường vuông góc với Ox kẻ từ D, cắt Oy tại E. Đường vuông góc với Oy kẻ từ c, cắt Ox tại F và cắt DE tại K. Chứng minh ba điểm o. I, K thắng hàng.
Cho tam giác ABC có góc A bằng 120°. Tia phán giác góc A cắt BC tại D, tia phân giác góc ADC cắt AC tại I. Gọi H, K là hình chiếu của I trên đường thẳng AB, BC. Chứng minh IH = IK.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AB không chứa điếm c, vẽ tia Ax. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AC không chứa
điểm B, vẽ tia Ay sao cho xAB = yAC. Kẻ BD vuông góc với Ax (D e Ax), ké CE vuông góc với Ay (E e Ay). Đường thắng BD và CE căt nhau tại K. Chứng minh rằng KA là tia phân giác của DKE.
Cho tam giác ABC có A = 120°, đường phân giác AD. kẻ DI vuông góc với AB, DK vuông góc với AC chứng minh tam giác DIK đều.
Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp số
1. (h.3.47)
AOAC = AOBD (g.c.g)
=>OD = OC.
AOAI= AOBI
(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> 1A = IB => I thuộc đường phân giác của xOy (1).
AODK = AOCK (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> KD = KC => K thuộc đường phân giác cua xOy (2).
Từ (1) và (2) => I, K cùng thuộc đường phân giác của xOy =>O; I; K thẳng hàng.
Nhận xét. Chúng ta có thêm một cách chứng minh những điểm thẳng hàng: Những điểm cùng nằm trên đường phân giác của một góc thì thắng hàng.
2. (h.3.48)
Kẻ IE 1AD, ta có BAC = 120° => IAH = 60°, AD là tia phân giác
BAC nên DAC = ị BAC = 60°.
2
Suy ra DAC - CAx, hay AC là tia phân giác của ADx nên IH = IE.
DI là tia phàn giác của góc ADC nên IK = IE. Suy ra IH = IK.
Nhận xét. Khi giải các bài toán về đường phân giác, bạn nên chú ý đến đường phân giác trong và ngoài của tam giác.
AD là đường phân giác cua BAC
=> A, =	= IbTc = 60° ; DI = DK.
1 - ?
Tam giác AID có Âị = 60°; Ấĩò = 90° => D, = 30°
Tam giác ADK có A ọ = 60°; AKD = 90° => D2 = 30°
=> IDK = DÌ + dỊ = 60° .
Tam giác DIK có DI = DK: IDK = 60° =>tam giác DIK là tam giác đều.