Giải toán 7 Bài 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
§2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XEÊN, ĐƯỜNG XEÊN VÀ HÌNH CHIÊU A. Tóm tất kiến thức 1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đưòngxiên Định lí 1. Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hon mọi đường xiên. AH 1 a => AH < AC, AH < AB (h.3.8). Quan hệ giữa đưòngcác đường xiên và các hình chiêu của chúng Định lí 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào có hình chiếu lớn hon thì lớn hơn. AH 1 a, HB > HC => AB > AC (h.3.8). A A B H c ■ B H c Hình 3.8 Hình 3.9 Đường xiên nào lón hơn thì có hình chiếu lớn hơn. AH 1 a, AB > AC => HB > HC (h.3.8). Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. AB = AC HB = HC (h.3.9). B. Ví dụ giỏi toán Ví dụ. Giải. Trong hình vẽ sau có AB > AC và AH vuông góc với BC. Lấy D trên đoạn AH. Chứng minh DB > DC. (h.3.10) Ta có AB > AC (gt) suy ra BH > CH (định lí 2). Do đó DB > DC (định lí 2). W»-vA HM3l0 về mặt suy luận: Để so sánh DB và DC, ta so sánh hình chiếu của chúng là HB và HC để từ đó tìm ra lời giải. Từ kết quả của bài toán DB > DC, ta có thể đề xuất thêm câu hỏi: So sánh BDH và CDH. c. Hưóng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Bài 8. Giải, (h.3.1-1) Từ AB < AC ta có HB < HC A H Hình 3.11 (đường xiên nhỏ hơn thì hình chiếu nhỏ hơn). Vậy kết luận c) là đúng. Hình 3.12 Bài 9. Giải. Theo hình 3.12, các điểm A, B, c, D nằm trên một đường thẳng d và điểm M nằm ngoài đường thẳng đó. MA là đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng d. Các đoạn thẳng MB, MC, MD là các đường xiên kẻ từ M lần lượt đến B, c và D. Ta có AB, AC và AD lần lượt là hình chiếu của MB, MC và MD trên đường thẳng d. Ta có AD > AC > AB suy ra MD > MC > MB > MA. Điều đó có nghĩa là ngày hôm sau bạn Nam bơi được xa hơn ngày hôm trước, tức là đúng mục đích đề ra. M H Hình 3.13 Nhận xét. Khi hình vẽ mà có đường vuông góc thì bạn nên nghĩ đến quan hệ đường xiên và hình chiếu để vận dụng so sánh đoạn thẳng. Bài 10. Giải, (h.3.13) Xét tam giác ABC cân tại A, lấy M là điểm bất kì của đáy BC. Ta sẽ chúng minh AM <AB. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Nếu M trùng B (hoặc C) thì AM = AB = AC. Nếu M trùng H thì AM = AH < AB (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên). Nếu M nằm giữa B và H (hoặc M nằm giữa c và H) thì HM < HB (hoặc HM < HC ) nên AM < AB (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn). Bài 11. Hướng dẫn: Góc ACD là góc gì ? Tại sao ? Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao ? Hình 3.14 Giải, (h.3.14) Nếu BC < BD thì c nằm giưa B và D. Khi đó: Trong tam giác CDA có góc ACD là góc ngoài cúa tam giác vuông ABC. Tức là góc ACD là góc tù. Cạnh AD đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất. Vậy AD > AC. Bài 12. Gidi. Muốn đo chiều rộng của một tấm gỗ, ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ, vì chiều rộng của tấm gỗ là đoạn vuôpg góc giữa hai cạnh này. Cách đặt thước như trong hình 15 (SGK) là sai: ở hình này ta đã đo đoạn xiên chứ không đo đoạn vuông góc. Bài 13. G/ả/. (h.3.15) Cách 1 BEC > A = 90° . Xét tam giác BEC có BEC>90° nên BC>BE(1). BDE >  = 90° . Xét tam giác BDE có BDE > 90° nên BE > DE (2). Từ (1) và (2) suy ra BC > DE. Cách 2 AE < AC => BE < BC (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn). (1) AD ED < EB (tương tự trên) (2) Từ (1) và (2) suy ra ED < BC. Bài 14. Giải, (h.3.16) Kẻ PH ±QR. Giả sử có điểm M thuộc tia HR sao cho PM = 4,5cm (tồn tại một điểm M như vậy vì PM > PH do PH = 4cm). PM HM < HR (đường xiên nhỏ thì hình chiếu nhỏ). Suy ra M nằm giữa H và R. Tương tự, có điểm M' nằm giữa H và Q mà PM' = 4,5cm. Như vậy có hai điểm M và M' nằm trên cạnh QR có PM = PM' = 4,5cm. D. Bài tập luyện thêm Cho tam giác ABC có A = 90° . Tia phân giác của ABC cắt AC tại D. Qua c vẽ đường thẳng vuông góc với AC, cắt đường thẳng BD tại E. So sánh CE và CA. Cho tam giác ABC có 10A = 15B = 12C. Tính số đo các góc của tam giác ABC; Kẻ AH vuông góc với BC (H e BC). Chứng minh HC < HB < HA. Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ AH, BK, CI lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: , AU . AB + AC 2 b) AH + BK + CI < AB + AC + BC. 4. 1. Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC và một điểm M nằm giữa B; c. Chứng minh AB > AM. Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô' (h.3.17) Ta có AB // CE (vì cùng vuông góc với AC) nên E = Bj (so le trong). Mà Bị = Bọ (giả thiết) => Ê - Bọ => tam giác CEB cân tại c => CB = CE. Mà BA ± AC => BC > AC (quan hệ đường xiên và hình chiếu). Do đó CE > CA. 2. (h.3.18) a) Từ 10A = 15B = 12C=>4 = - = S 6 4 5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: ABC- A + B + C _ 180° _ 0 6 - 4 - 5 - 6 + 4 + 5 " 15° - Suy ra  = 72° ; B = 48°; C = 60°. b) Ta có B AC < AB. AC CH < BH (quan hệ đường xiên và hình chiếu). Tam giác ABH có H = 90° nên B + Aj = 90° , 48° + A L = 90° =^> A! =42°. Do đó Aj < B =? BH < AH . Vậy CH < BH < AH. (h.3.19) AH 1BC => AH < AB; AH < AC AB + AC =>2AHAH< 2 ARx Af Theo câu a) AH < (1). AB + BC Tương tự ta có BK < ——j (2) CI<CB±£A(3). 2 Hình 3.19 Từ (1), (2), (3) cộng vế với vế, ta có điều phải chứng minh, Nhận xét. Bài toán sẽ khó hơn nếu chỉ có câu b. Bạn đọc tự vẽ hình. Kẻ AH 1 BC => thì điểm M có những khả năng sau: Trường hợp I. M = H =>AM = AH < AB (quan hệ đường xiên và đường vuông góc). Trường hợp 2. M nằm giữa H và c => HM AM AM < AB. Trường hợp 3. M nằm giữa H và B => HM AM < AB Vậy ta có AM < AB. Nhận xét Lời giải sẽ thiếu sót, nếu ta không xét các trường hợp mà ngộ nhận phụ thuộc vào một hình vẽ. Bài toán trên vẫn đúng trong trường hợp tam giác ABC không nhọn. Có thể dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác để giải.